BUKU RANCANGAN PENGAJARAN Mata Ajaran Kalkulus I Disusun oleh: Kasiyah M Junus Heru Suhartanto Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Agustus 2008 PENGANTAR Kalkulus I merupakan mata ajaran wajib di Fasilkom dengan bobot 3 SKS. Ada dua masalah dasar dalam Kalkulus, yaitu masalah garis singgung dan luas. Masalah garis singgung adalah bagaimana menemukan gradien garis singgung di suatu titik pada kurva. Sedangkan masalah luas adalah bagaimana menentukan luas daerah bidang diantara suatu kurva sumbu-x pada interval [a, b]. Kedua masalah tersebut melibatkan grafik fungsi bernilai nyata y = f(x), dan jawabannya merupakan limit perubahan dan limit jumlahan, yang kemudian kita kenal sebagai turunan dan integral tertentu. Oleh karena itu, Kalkulus sering disebut sebagai ilmu yang mempelajari limit. Jawaban dua masalah geometris (yang amat matematis) tersebut ternyata merupakan kunci dari berbagai masalah terapan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi. Pada mata ajar Kalkulus I di Fasilkom dibahas turunan dan integral fungsi nyata dengan satu perubah bebas. Sebagaimana tujuan pemelajaran matematika secara umum, tujuan pemelajaran Kalkulus I adalah membekali pemelajar dengan berbagai teknik untuk menyelesaikan masalah (problem solving) terkait dan penalaran matematis (intelletual sports). Dua hal ini diperlukan oleh mahasiswa Fasilkom sebagai dasar untuk mengikuti mata ajar lain selanjutnya. Pendekatan yang dilakukan adalah pemelajaran aktif (active learning) bukan pembelajaran (instruction). Kuliah yang diselenggarakan bersifat interaktif dan melibatkan pemelajar secara aktif dalam bentuk antara lain pengerjaan lembar kerja (worksheet). Lembar kerja dirancang secara hati-hati dengan memperhatikan tujuan pemelajaran, pemelajar, dan metode yang diterapkan. Lembar kerja menjadi bagian terintegrasi dari pemelajaran, bukan sekedar lembar latihan saja. Lembar kerja dapat berfungsi sebagai sarana untuk membangkitkan kembali pengetahuan dasar yang diperlukan, orientasi, latihan, dan umpan balik. Pemelajar dipacu untuk bekerjasama dan saling tergantung secara positif (positive dependent) dengan pemelajar lain dalam proses pembentukan pengetahuan. DAFTAR ISI PENGANTAR iii DAFTAR ISI Iv BAB I INFORMASI UMUM 1 BAB II SASARAN PEMELAJARAN Sasaran Pemelajaran Terminal Sasaran Pemelajaran Penunjang Diagram Alur 2 2-3 4 BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan Rujukan 5-6 6 BAB IV METODE PEMBELAJARAN Metode Pembalajaran Sumber Pembelajaran Media Instruksional Matriks Kegiatan Perkuliahan Matriks Kegiatan Tutorial 7 7 7 7 8 BAB V TUGAS LATIHAN Tugas Individu Tugas Kelompok 9 10 BAB VI EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN Jenis Instrumen Kisi-kisi Soal UTS Kisi-kisi soal UAS Contoh Soal Ujian 11 11 12 12-13 BAB I INFORMASI UMUM Nama mata ajar : Kalkulus I Kode mata ajar : IKI10041 Diberikan pada semester ke- : 2 Jumlah sks : 3 Jenis sks : 2 x 50 menit tatap muka, 50 menit tutorial, 50 menit latihan mandiri/ berkelompok Prasyarat : - Kaitan dengan mata ajar lain : Kalkulus II Persamaan Differensial Grafika Komputer Pengolahan Citra Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik Aproksimasi Sistem Non-Linier Jadwal Dosen : Dra. Kasiyah, MSc Heru Suhartanto, PhD Tutor : Bagan hubungan dengan mata kuliah lain: Kalkulus I Kalkulus II Persamaan Differensial – KI Grafika Komputer – TPL Pengolahan Citra – TPL / KI Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik – KI Aproksimasi Sistem Non- Linier – KI Petunjuk Pemelajaran Untuk menjaga kelancaran proses pemelajaran dan menjamin efektifitasnya, maka diberlakukan aturan berikut ini. 1. Pemelajar diharapkan mempersiapkan diri sebelum masuk kelas dengan membaca materi yang akan dipelajari. 2. Pada setiap sesi, pemelajar diwajibkan membawa lembar kerja yang sesuai. 3. Selama proses pemelajaran, pemelajar diharapkan aktif terlibat dan tidak melakukan kegiatan lain (misanya mengerjakan tugas kuliah lain). 4. Mahasiswa dilarang keras menganggu jalannya pemelajaran dengan menghidupkan dering HP, menerima telepon, maupun pesan singkat. 5. Jika terlambat dan pintu sudah ditutup, mahasiswa diharapkan untuk tidak masuk kelas supaya tidak menganggu jalannya pemelajaran. 6. Dalam mengerjakan tugas rumah, pemelajar diperbolehkan (didorong) untuk melakukan belajar kelompok. Namun, dalam memberikan jawaban tidak boleh menyalin pekerjaan orang lain meskipun dalam kelompok belajar yang sama. Mahasiswa diminta untuk meluliskan teman belajarnya dalam mengerjakan pekerjaan rumah. 7. Dalam tugas kelompok, penilaian teman akan menjadi faktor pengali untuk nilai ndividual. 8. Keterlambatan mengumpulkan tugas akan mengurangi nilai. 9. TIDAK akan diberikan susulan quiz, ujian tengah semester, ujian akhir semester tanpa surat keterangan dokter. Surat keterangan dokter harap diberikan sesegera mungkin, dan pada saat jadwal quiz atau ujian, kondisi ini sudah harus diketahui dosen. 10. Dosen tidak wajib memberitahu jadwal quiz. Jadwal ujian tengah dan akhir semester diberikan. 11. TIDAK ada tugas tambahan dengan tujuan untuk memperbaiki nilai. Kesempatan untuk menunjukkan prestasi belajar diberikan selama satu semester penuh. 12. Mahasiswa diharapkan datang pada saat sesi perkuliahan, karena pada pemelajaran kolaboratif pemelajar harus memberikan kontribusinya. 13. Pemelajar diharapkan mengisi daftar hadir. 14. Kecurangan (mengabsenkan orang lain, menyontek, dll) bisa didiskualifikasi dan mendapat nilai E. BAB II SASARAN PEMELAJARAN Sejalan dengan tujuan pengajaran Matematika, tujuan pemelajaran Kalkulus I meliputi aspek problem solving dan intellectual sport. Secara rinci, kedua tujuan tersebut dijabarkan dalam tujuan pemelajaran terminal (tujuan instruksonal umum) dan tujuan pemelajaran penunjang (tujuan instruksional khusus) sebagai berikut. Sasaran pemelajaran terminal Setelah mengikuti mata ajaran Kalkulus I selama satu semester, mahasiswa diharapkan memiliki kemampuan berikut ini. 1. Dapat menyelesaikan masalah terkait dengan turunan: menentukan karakteristik fungsi berdasarkan turunannya, menentukan nilai ekstrem fungsi kontinu pada interval tertutup, dan laju perubahan. 2. Memahami kaitan dua konsep dasar Kalkulus (turunan dan intergral tertentu) secara tepat. 3. Dapat menghitung luas antara dua kurva sederhana, panjang kurva pada suatu interval, dan volume benda putar terhadap sumbu koordinat dengan tepat. Untuk mencapai sasaran pemelajaran terminal tersebut, secara bertahap pemelajar diharapkan mencapai sasaran penunjang terlebih dahulu. Berikut ini sasaran penunjang yang terkait. Sasaran pemelajaran penunjang 1. Pemelajar memahami konsep bilangan nyata yang meliputi sifat-sifat operasi biner di dalamnya, pertidaksamaan, nilai mutlak, konvensi yang berlaku, dan jenis-jenis interval. 2. Pemelajar memahami fungsi, dapat menggambar grafik fungsi-fungsi sederhana, dapat melakukan operasi aljabar pada fungsi nyata yang diberikan, dan dapat mengidentifikasi jenisnya. 3. Jika diberikan fungsi aljabar dan trigonometri dan titik pada domain, mahasiswa dapat menentukan limitnya jika ada. 4. Mahasiswa dapat menurunkan sifat-sifat limit fungsi aljabar dan trigonometri dan dapat menerapkannya untuk mengevaluasi limit fungsi yang diberikan. 5. Jika diberikan fungsi, pemelajar mampu menentukan kontinuitasnya pada titik atau interval yang diberikan. 6. Jika diberikan fungsi bernilai nyata, pemelajar dapat menentukan limitnya jika x menuju tak hingga, dan dapat menentukan kapan fungsi mempunyai limit tak hingga. 7. Pemelajar memahami interpretasi geometris dari turunan fungsi bernilai nyata. 8. Pemelajar memahami bagaimana memperoleh aturan penurunan, dan dapat secara tepat menerapkan aturan tersebut untuk menurunkan fungsi yang diberikan. 9. Pemelajar dapat menentukan nilai pendekatan nilai fungsi aljabar di sekitar suatu titik yang diberikan dengan menggunakan diffenrensial. 10. Pemelajar dapat menentukan (secara aljabar) nilai ekstrem fungsi di interval yang diberikan. 11. Pemelajar dapat memanfaatkan turunan untuk mengidentifikasi perilaku fungsi (naik-turun, kecekungan, titik belok, dsb). 12. Jika diberikan suatu fungsi, pemelajar dapat menentukan anti turunannya. 13. Pemelajar memahami masalah luas dan penyelesaiannya dalam bentuk integral tertentu. 14. Pemelajar memahami kaitan integral tertentu, dan anti turunan. 15. Pemelajar memahami dan dapat menerapkan teorema nilai rata-rata untuk turunan dan integral. 16. Pemelajar dapat menghitung luas daerah antara dua kurva yang diberikan dan pada interval tertentu. 17. Pemelajar dapat menghitung volume benda yang diperoleh dengan memutar kurva sederhana terhadap sumbu koordinat. 18. Pemelajar dapat menghitung panjang kurva sederhana sepanjang interval tertentu. 19. Pemelajar memahami definisi fungsi-fungsi transenden, dapat membuat sketsa grafiknya, dapat mengaitkan fungsi transenden dan inversenya, menentukan turunan dan antiturunannya. 20. Jika diberikan fungsi, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk menentukan integralnya. 21. Jika diberikan bentuk-bentuk tak tentu (sederhana) dalam limit, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk mengevaluasinya. 22. Pemelajar dapat memanfaatkan limit untuk mengevaluasi integral tak sebenarnya. Diagram alur tujuan pembelajaran Sistem Bilangan Nyata Fungsi Limit Masalah garis singgung Masalah luas Turunan Teorema Dasar Kalkulus Integral Kontinuitas fungsi Aplikasi integral Teknik pengintegralan Aplikasi turunan Fungsi transenden Diagram alur tujuan pembelajaran di atas juga memperlihatkan keterkaitan antara pokok-pokok pembahasan. Urutan penyampaian materi sedikit berbeda dengan diagram alur. Determinan dan Aturan Cramer dibahas terlebih dahulu sebelum pembahasan vektor pada bidang dan ruang, dengan dua pertimbangan. Pertama, mahasiswa sudah mempunyai dasar pengetahuan yang cukup dari SMU; kedua, pokok bahasan ini terkait erat dengan pokok bahasan operasi baris pada matriks. BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan No Pokok Bahasan Subpokok bahasan Rujukan 1 Sistem Bilangan Nyata 1.1 Sistem Bilangan Nyata 1.2 Nilai Mutlak 1.3 Pertaksamaan dan Interval [1] chap 1 2 fungsi 2.1 Pengertian Fungsi 2.2 Grafik Fungsi 2.3 Fungsi Genap, Ganjil 2.4 Katalog Fungsi-fungsi [1] chap 2 [2] chap 1 [3] chap 0 3 limit 3.1 Konsep Limit 3.2 Sifat dan teorema limit 3.3 Kontinuitas [1] chap 2 [2] chap 2 [3] chap 1 4 Turunan Turunan 4.1 Pengetian turunan 4.2 Fungsi terdeferensial 4.3 Aturan Penurunan dasar 4.4 Aturan Rantai 4.5 Turunan fungsi-fugsi aljabar 4.6 Turunan fungsi trigonometri 4.7 Kontinuitas [1] chap 3 [2] chap 3 [3] chap 2 5 Aplikasi turunan 5.1 Fungsi naik dan turun, dan Teorema Nilai Mean 5.2 Titik esktrem fungsi 5.3 Kecekungan 5.4 Penurunan implisit dan laju perubahan 5.5 Increament, differensial, dan pendekatan linier [1] chap 4 [2] chap 4 [3] chap 3 6 Integral 6.1 Antiturunan dan Masalah nilai awal 6.2 Notasi sigma 6.3 Limit jumlahan Riemann dan integral 6.4 Mengevaluasi integral 6.5 Nilai rata-rata fungsi 6.6 Teorema dasar kalkulus 6.7 Pengintegralan dengan substitusi [1] chap 5 [2] chap 5 [3] chap 4 7 Aplikasi integral 7.1 Mengembangkan integral 7.2 Luas daerah bidang [1] chap 6 [2] chap 6 7.3 Volume benda putas 7.4 Panjang kurva 7.5 Luas permukaan benda putar [3] chap 5 8 Fungsi transenden 8.1 Fungsi logaritma alam dan eksponensial 8.2 Fungsi-fungsi trigonometri dan inversenya 8.3 Fungsi-fungsi hiperbolik dan inversenya [1] chap 7 [2] chap 7, 8 [3] chap 6 9 Teknik pengintegralan 9.1 Pengintegralan dengan substitusi 9.2 Integral trigonometri 9.3 Pengintegralan dengan rasionalisasi 9.4 Pengintegralan bagian demi bagian 9.5 Pengintegralan fungsi rasional [1] chap 8 [2] chap 9 [3] chap 7 10 Bentuk tak tentu dan integral tak wajar 10.1 Bentuk-bentuk tak tentu 10.2 Integral tak wajar: batas tak hingga 10.3 Integral tak wajar: integrand tak hingga [1] chap 9 [2] chap 8 [3] chap 7 Rujukan Utama [1] Varberg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8th Edition, Prentice Hall Inc, 2000 Penunjang [2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5th Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998 [3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),Thomas’ Calculus, Addison Wesley Publ. Co. 2001 BAB IV MATRIKS KEGIATAN Metode pembelajaran: 1. Kuliah Interaktif (KI) 2. Tutorial (T) 3. Diskusi Kelompok (DK) 4. Tugas Individu (TI) 5. Tugas Kelompok (TK) Sumber Pembelajaran 1. Buku Teks 2. Handout 3. Internet 4. Manual Matlab Media Instruksional 1. Whiteboard 2. OHP Matriks Kegiatan Perkuliahan Sasaran Pembelajaran Minggu Tanggal Metode Pemelajaran Termin al Penunjang O L U Pokok Bahasan Media 1 1 KI T, TI TI System Bil 2 2 KI T, TK Q fungsi 3 3 KI T, TI TI Limit fungsi 4 4, 5, 6 Limit dan kontinuitas 5 7 KI T, TI TI turunan 6 8, 9 KI T, TI TI Aplikasi turunan: perilaku grafik, maks min 7 1 10, 11, 12 KI T, TI Q Aplikasi turunan dalam beberapa bidang 8 UTS 9 13 KI T, TI TI Integral 10 14, 15 KI T, TI Q Aplikasi integral 11 16, 17,18 DK TK TK Aplikasi integral 12 12, 13 KI TK TK, pleno Teknik pengintegralan 13 19 TK TK TK Fungsi-fungsi transenden 14 19, 20 KI T, TI TI Turunan dan integral fungsi transenden 15 20, 21 KI KI KI Bentuk-bentuk tak tentu 16 UAS Matriks Kegiatan Tutorial Pertemuan Tangggal Jam Kegiatan Subpokok Bahasan Penanggung jawab Ruang 1 2 3 4 5 6 7 8 UTS 9 10 11 12 13 14 15 16 UAS 8 BAB V CONTOH TUGAS LATIHAN Tugas Individu Pokok bahasan Bahan Tugas Individu Keterangan 1. Sistem bilangan nyata Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan nyata, menjelaskan sifat operasi bilangan nyata, konvensi yang berlaku dengan operasi bilangan nyata tertentu, menyatakan himpunan dalam beberapa notasi, menyelesaikan pertaksamaan. 2. fungsi Menjelaskan pentingnya fungsi dalam kehidupan sehari-hari dan matematika, menjelaskan jenis fungsi, test garis vektikal 3. limit Mengevaluasi/ mengevaluasi limit 4. turunan Menjelaskan makna geometris turunan fungsi, mengevaluasi turunan fungsi, menjelaskan teorema penting dan aplikasinya 5. aplikasi turunan Menentukan sifat grafik fungsi lewat turunan pertama dan ke dua, menghitung nilai rata-rata fungsi, menentukan titik ekstrem 6. integral menentukan anti turunan fungsi, menjelaskan proses pengembangan integral tertentu dan contohnya 7. aplikasi integral Menghitung besaran-besaran tertentu. 8. fungsi transenden Menentukan grafik inverse fungsi, 9. teknik pengintegralan Membuat prosedur umum pengevaluasian integral, menentukan integral tak tentu dengan berbagai teknik 10. bentuk tak tentu dan integral tak wajar Mengevaluasi kapan aturan L’Hopital dapat diterapkan, mengevaluasi integral tak wajar dengan limit, menentukan limit bentuk-bentuk tertentu 9 Topik Diskusi dan Tugas Kelompok Pokok bahasan Bahan Diskusi Kelompok 7. Aplikasi Integral Anda diminta membuat prosedur umum penggunaan integral tertentu untuk menghitung besaran yang terkait dengan perubahan yang mengikuti sebuah fungsi. Jelaskan rincian prosedur tersebut untuk menghitung besaran berikut: luas daerah diantara dua kurva dan dua garis vertical, volume benda putar (dengan dua pendekatan), panjang kurva, massa, pusat massa, dan satu aplikasi lain yang serupa. 10 BAB VI EVALUASI HASIL PEMELAJARAN Bentuk/jenis instrumen 1. Tugas individu (essay: penyelesaian soal secara aljabar, manual, atau dengan komputer) 2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi, penyelesaian soal secara berkelompok) 3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda) 4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda) Skema Penentuan Nilai Akhir No Komponen Bobot 1. Tugas Individu (10 kali) 10% 2. Tugas Kelompok (1 kali) 5% 3. Kuis (2 kali) 20% 5. Ujian Tengah Semester ( 1 kali) 30% 6. Ujian Akhir Semester 35% Total 100% Kisi-kisi naskah UTS Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot K4 Extended response essay (menentukan, menerapkan, memilih/ menilai prosedur-prosedur penyelesaian, memberi argumentasi) 2 50% K3 Restricted response essay (menghitung, menginterpresikan, imengidentifikasi, mengklasifikasi) 2 30% K5 Pilihan ganda (menganalisa, menilai, memilih) 5 20% Jumlah 9 100% 11 Kisi-kisi naskah UAS Ranah Kognitif *) Instrumen Jumlah soal bobot K3-K6 Extended response essay (menentukan, menerapkan, memilih/ menilai prosedurprosedur penyelesaian, memberi argumentasi) 2 50% K3-K5 Restricted response essay (menghitung, menginterpresikan, imengidentifikasi, mengklasifikasi) 3 30% K6 Pilihan ganda (menilai, memilih) 5 20% Jumlah 10 100% *) Bloom’s Taxonomy 12 BAB VII CONTOH SOAL-SOAL UJIAN FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA Ujian Tengah Semester Kalkulus 1 Tanggal : 26 Maret 2006 Waktu : 100 menit Sifat : closed book, tanpa kalkulator Dosen :Heru Suhartanto Kasiyah M. Junus Petunjuk: · Baca baik-baik semua soal, sebelum menjawabnya. · Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi · Bobot setiap soal adalah sama (10). · Ketelitian dan kecermatan sangat diperlukan. · JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL. Aturlah ukuran huruf Anda supaya tempat yang disediakan mencukupi. 1. Seorang petani ingin memagari tiga petak sawahnya yang berbentuk persegi panjang. Ketiga petaksawah tersebut mempunyai ukuran yang sama dan luasnya 300 m2. Berapa panjang dan lebar petak tersebut agar pagar yang dibutuhkan panjangnya minimum? 2. Jika ( ) , ( ) 2 f x = x2 g x = x - , maka a. f 2 (r)g(r) = ….. b. (g o f )(t) = …. c. domain dari fungsi ( ) ( ) g x f x adalah …………. 3. Tunjukkan bahwa jumlahan dua bilangan rasional adalah bilangan rasional . 4. Tentukan nilai limit fungsi h(x) berikut ini (jika ada). Jika tidak ada berikan penjelasan. a. | 1| 1 ( ) - = - x x h x , untuk x ®1 b. ( ) ( ) ( ) f 2 x g x h x = , untuk x ®c , dengan f x L g x K x c x c = = ® ® lim ( ) , lim ( ) f (c) ¹ 0 5. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh mengenai grafik fungsi y = f(x) jika dilakukan test turunan pertama pada f ’(x) di titik-titik kritis dari f ’(x). 6. Apakah Test Turunan Kedua dapat membedakan titik ekstrem lokal dari ekstrem global? Kapan Test Turunan Kedua tidak memberikan informasi apa-apa? Jelaskan 7. Diberikan grafik fungsi f ’(x) pada interval [-4 , 6] -3 -2 -1 1 2 3 4 5 a. Tentukan selang (interval) dimana f naik dan turun. b. Tentukan untuk x berapa grafik fungsi y = f(x) mempunyai titik belok (inflection point)? c. Tentukan untuk x berapa f mencapai titik ekstrem? Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan melingkari huruf yang sesuai. 8. Berikut ini adalah grafik fungsi y = f(x). Tentukan grafik mana yang merupakan grafik fungsi yang mempunyai inverse. (A) (B) (C) (D) 9. Diasumsikan bahwa setiap grafik berikut ini adalah grafik dari fungsi polinomial. (1) (2) (3) (4) Urutan grafik berdasarkan derajat (polinomoal) terkecil yang mungkin adalah: A. (1) (4) (3) (2) B. (2) (3) (4) (1) C. (3) (1) (2) (4) D. (1) (3) (4) (2) 10. Nyatakanlah apakah pernyataan berikut benar atau salah, dan berikan penjelasannya a. Jumlah dua fungsi genap adalah fungsi genap b. Jumlah dua fungsi ganjil adalah fungsi ganjil c. Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil d. Komposisi dua fungsi ganjil adalah fungsi ge

BUKU RANCANGAN PENGAJARAN
Mata Ajaran
Kalkulus I
Disusun oleh:
Kasiyah M Junus
Heru Suhartanto
Fakultas Ilmu Komputer
Universitas Indonesia
Agustus 2008

PENGANTAR
Kalkulus I merupakan mata ajaran wajib di Fasilkom dengan bobot 3 SKS. Ada dua masalah
dasar dalam Kalkulus, yaitu masalah garis singgung dan luas. Masalah garis singgung adalah
bagaimana menemukan gradien garis singgung di suatu titik pada kurva. Sedangkan masalah
luas adalah bagaimana menentukan luas daerah bidang diantara suatu kurva sumbu-x pada
interval [a, b]. Kedua masalah tersebut melibatkan grafik fungsi bernilai nyata y = f(x), dan
jawabannya merupakan limit perubahan dan limit jumlahan, yang kemudian kita kenal
sebagai turunan dan integral tertentu. Oleh karena itu, Kalkulus sering disebut sebagai ilmu
yang mempelajari limit. Jawaban dua masalah geometris (yang amat matematis) tersebut
ternyata merupakan kunci dari berbagai masalah terapan dalam ilmu pengetahuan dan
teknologi.
Pada mata ajar Kalkulus I di Fasilkom dibahas turunan dan integral fungsi nyata dengan satu
perubah bebas. Sebagaimana tujuan pemelajaran matematika secara umum, tujuan
pemelajaran Kalkulus I adalah membekali pemelajar dengan berbagai teknik untuk
menyelesaikan masalah (problem solving) terkait dan penalaran matematis (intelletual
sports). Dua hal ini diperlukan oleh mahasiswa Fasilkom sebagai dasar untuk mengikuti mata
ajar lain selanjutnya.
Pendekatan yang dilakukan adalah pemelajaran aktif (active learning) bukan pembelajaran
(instruction). Kuliah yang diselenggarakan bersifat interaktif dan melibatkan pemelajar secara
aktif dalam bentuk antara lain pengerjaan lembar kerja (worksheet). Lembar kerja dirancang
secara hati-hati dengan memperhatikan tujuan pemelajaran, pemelajar, dan metode yang
diterapkan. Lembar kerja menjadi bagian terintegrasi dari pemelajaran, bukan sekedar
lembar latihan saja. Lembar kerja dapat berfungsi sebagai sarana untuk membangkitkan
kembali pengetahuan dasar yang diperlukan, orientasi, latihan, dan umpan balik.
Pemelajar dipacu untuk bekerjasama dan saling tergantung secara positif (positive
dependent) dengan pemelajar lain dalam proses pembentukan pengetahuan.
DAFTAR ISI
PENGANTAR iii
DAFTAR ISI Iv
BAB I INFORMASI UMUM 1
BAB II
SASARAN PEMELAJARAN
Sasaran Pemelajaran Terminal
Sasaran Pemelajaran Penunjang
Diagram Alur
2
2-3
4
BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN
Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan
Rujukan
5-6
6
BAB IV METODE PEMBELAJARAN
Metode Pembalajaran
Sumber Pembelajaran
Media Instruksional
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Matriks Kegiatan Tutorial
7
7
7
7
8
BAB V TUGAS LATIHAN
Tugas Individu
Tugas Kelompok
9
10
BAB VI EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN
Jenis Instrumen
Kisi-kisi Soal UTS
Kisi-kisi soal UAS
Contoh Soal Ujian
11
11
12
12-13
BAB I
INFORMASI UMUM
Nama mata ajar : Kalkulus I
Kode mata ajar : IKI10041
Diberikan pada semester ke- : 2
Jumlah sks : 3
Jenis sks : 2 x 50 menit tatap muka,
50 menit tutorial,
50 menit latihan mandiri/ berkelompok
Prasyarat : -
Kaitan dengan mata ajar lain : Kalkulus II
Persamaan Differensial
Grafika Komputer
Pengolahan Citra
Analisa Numerik
Aljabar Linier Numerik
Aproksimasi Sistem Non-Linier
Jadwal
Dosen : Dra. Kasiyah, MSc
Heru Suhartanto, PhD
Tutor :
Bagan hubungan dengan mata kuliah lain:
Kalkulus I Kalkulus II Persamaan Differensial – KI
Grafika Komputer – TPL
Pengolahan Citra – TPL / KI
Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik – KI
Aproksimasi Sistem Non-
Linier – KI
Petunjuk Pemelajaran
Untuk menjaga kelancaran proses pemelajaran dan menjamin efektifitasnya, maka
diberlakukan aturan berikut ini.
1. Pemelajar diharapkan mempersiapkan diri sebelum masuk kelas dengan
membaca materi yang akan dipelajari.
2. Pada setiap sesi, pemelajar diwajibkan membawa lembar kerja yang sesuai.
3. Selama proses pemelajaran, pemelajar diharapkan aktif terlibat dan tidak
melakukan kegiatan lain (misanya mengerjakan tugas kuliah lain).
4. Mahasiswa dilarang keras menganggu jalannya pemelajaran dengan
menghidupkan dering HP, menerima telepon, maupun pesan singkat.
5. Jika terlambat dan pintu sudah ditutup, mahasiswa diharapkan untuk tidak
masuk kelas supaya tidak menganggu jalannya pemelajaran.
6. Dalam mengerjakan tugas rumah, pemelajar diperbolehkan (didorong) untuk
melakukan belajar kelompok. Namun, dalam memberikan jawaban tidak
boleh menyalin pekerjaan orang lain meskipun dalam kelompok belajar yang
sama. Mahasiswa diminta untuk meluliskan teman belajarnya dalam
mengerjakan pekerjaan rumah.
7. Dalam tugas kelompok, penilaian teman akan menjadi faktor pengali untuk
nilai ndividual.
8. Keterlambatan mengumpulkan tugas akan mengurangi nilai.
9. TIDAK akan diberikan susulan quiz, ujian tengah semester, ujian akhir
semester tanpa surat keterangan dokter. Surat keterangan dokter harap
diberikan sesegera mungkin, dan pada saat jadwal quiz atau ujian, kondisi ini
sudah harus diketahui dosen.
10. Dosen tidak wajib memberitahu jadwal quiz. Jadwal ujian tengah dan akhir
semester diberikan.
11. TIDAK ada tugas tambahan dengan tujuan untuk memperbaiki nilai.
Kesempatan untuk menunjukkan prestasi belajar diberikan selama satu
semester penuh.
12. Mahasiswa diharapkan datang pada saat sesi perkuliahan, karena pada
pemelajaran kolaboratif pemelajar harus memberikan kontribusinya.
13. Pemelajar diharapkan mengisi daftar hadir.
14. Kecurangan (mengabsenkan orang lain, menyontek, dll) bisa didiskualifikasi
dan mendapat nilai E.
BAB II
SASARAN PEMELAJARAN
Sejalan dengan tujuan pengajaran Matematika, tujuan pemelajaran Kalkulus I
meliputi aspek problem solving dan intellectual sport. Secara rinci, kedua tujuan
tersebut dijabarkan dalam tujuan pemelajaran terminal (tujuan instruksonal umum)
dan tujuan pemelajaran penunjang (tujuan instruksional khusus) sebagai berikut.
Sasaran pemelajaran terminal
Setelah mengikuti mata ajaran Kalkulus I selama satu semester, mahasiswa
diharapkan memiliki kemampuan berikut ini.
1. Dapat menyelesaikan masalah terkait dengan turunan: menentukan
karakteristik fungsi berdasarkan turunannya, menentukan nilai ekstrem fungsi
kontinu pada interval tertutup, dan laju perubahan.
2. Memahami kaitan dua konsep dasar Kalkulus (turunan dan intergral tertentu)
secara tepat.
3. Dapat menghitung luas antara dua kurva sederhana, panjang kurva pada
suatu interval, dan volume benda putar terhadap sumbu koordinat dengan
tepat.
Untuk mencapai sasaran pemelajaran terminal tersebut, secara bertahap pemelajar
diharapkan mencapai sasaran penunjang terlebih dahulu. Berikut ini sasaran
penunjang yang terkait.
Sasaran pemelajaran penunjang
1. Pemelajar memahami konsep bilangan nyata yang meliputi sifat-sifat operasi
biner di dalamnya, pertidaksamaan, nilai mutlak, konvensi yang berlaku, dan
jenis-jenis interval.
2. Pemelajar memahami fungsi, dapat menggambar grafik fungsi-fungsi
sederhana, dapat melakukan operasi aljabar pada fungsi nyata yang
diberikan, dan dapat mengidentifikasi jenisnya.
3. Jika diberikan fungsi aljabar dan trigonometri dan titik pada domain,
mahasiswa dapat menentukan limitnya jika ada.
4. Mahasiswa dapat menurunkan sifat-sifat limit fungsi aljabar dan trigonometri
dan dapat menerapkannya untuk mengevaluasi limit fungsi yang diberikan.
5. Jika diberikan fungsi, pemelajar mampu menentukan kontinuitasnya pada titik
atau interval yang diberikan.
6. Jika diberikan fungsi bernilai nyata, pemelajar dapat menentukan limitnya jika
x menuju tak hingga, dan dapat menentukan kapan fungsi mempunyai limit
tak hingga.
7. Pemelajar memahami interpretasi geometris dari turunan fungsi bernilai
nyata.
8. Pemelajar memahami bagaimana memperoleh aturan penurunan, dan dapat
secara tepat menerapkan aturan tersebut untuk menurunkan fungsi yang
diberikan.
9. Pemelajar dapat menentukan nilai pendekatan nilai fungsi aljabar di sekitar
suatu titik yang diberikan dengan menggunakan diffenrensial.
10. Pemelajar dapat menentukan (secara aljabar) nilai ekstrem fungsi di interval
yang diberikan.
11. Pemelajar dapat memanfaatkan turunan untuk mengidentifikasi perilaku
fungsi (naik-turun, kecekungan, titik belok, dsb).
12. Jika diberikan suatu fungsi, pemelajar dapat menentukan anti turunannya.
13. Pemelajar memahami masalah luas dan penyelesaiannya dalam bentuk
integral tertentu.
14. Pemelajar memahami kaitan integral tertentu, dan anti turunan.
15. Pemelajar memahami dan dapat menerapkan teorema nilai rata-rata untuk
turunan dan integral.
16. Pemelajar dapat menghitung luas daerah antara dua kurva yang diberikan
dan pada interval tertentu.
17. Pemelajar dapat menghitung volume benda yang diperoleh dengan memutar
kurva sederhana terhadap sumbu koordinat.
18. Pemelajar dapat menghitung panjang kurva sederhana sepanjang interval
tertentu.
19. Pemelajar memahami definisi fungsi-fungsi transenden, dapat membuat
sketsa grafiknya, dapat mengaitkan fungsi transenden dan inversenya,
menentukan turunan dan antiturunannya.
20. Jika diberikan fungsi, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk
menentukan integralnya.
21. Jika diberikan bentuk-bentuk tak tentu (sederhana) dalam limit, pemelajar
dapat memilih metode yang tepat untuk mengevaluasinya.
22. Pemelajar dapat memanfaatkan limit untuk mengevaluasi integral tak
sebenarnya.
Diagram alur tujuan pembelajaran
Sistem Bilangan Nyata
Fungsi
Limit
Masalah garis singgung Masalah luas
Turunan Teorema Dasar Kalkulus Integral
Kontinuitas fungsi
Aplikasi integral Teknik pengintegralan
Aplikasi turunan
Fungsi transenden
Diagram alur tujuan pembelajaran di atas juga memperlihatkan keterkaitan antara
pokok-pokok pembahasan. Urutan penyampaian materi sedikit berbeda dengan
diagram alur. Determinan dan Aturan Cramer dibahas terlebih dahulu sebelum
pembahasan vektor pada bidang dan ruang, dengan dua pertimbangan. Pertama,
mahasiswa sudah mempunyai dasar pengetahuan yang cukup dari SMU; kedua,
pokok bahasan ini terkait erat dengan pokok bahasan operasi baris pada matriks.
BAB III
BAHASAN DAN RUJUKAN
Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan
No Pokok Bahasan Subpokok bahasan
Rujukan
1 Sistem Bilangan
Nyata
1.1 Sistem Bilangan Nyata
1.2 Nilai Mutlak
1.3 Pertaksamaan dan Interval
[1] chap 1
2 fungsi 2.1 Pengertian Fungsi
2.2 Grafik Fungsi
2.3 Fungsi Genap, Ganjil
2.4 Katalog Fungsi-fungsi
[1] chap 2
[2] chap 1
[3] chap 0
3 limit 3.1 Konsep Limit
3.2 Sifat dan teorema limit
3.3 Kontinuitas
[1] chap 2
[2] chap 2
[3] chap 1
4 Turunan Turunan
4.1 Pengetian turunan
4.2 Fungsi terdeferensial
4.3 Aturan Penurunan dasar
4.4 Aturan Rantai
4.5 Turunan fungsi-fugsi aljabar
4.6 Turunan fungsi trigonometri
4.7 Kontinuitas
[1] chap 3
[2] chap 3
[3] chap 2
5 Aplikasi turunan 5.1 Fungsi naik dan turun, dan Teorema Nilai
Mean
5.2 Titik esktrem fungsi
5.3 Kecekungan
5.4 Penurunan implisit dan laju perubahan
5.5 Increament, differensial, dan pendekatan
linier
[1] chap 4
[2] chap 4
[3] chap 3
6 Integral 6.1 Antiturunan dan Masalah nilai awal
6.2 Notasi sigma
6.3 Limit jumlahan Riemann dan integral
6.4 Mengevaluasi integral
6.5 Nilai rata-rata fungsi
6.6 Teorema dasar kalkulus
6.7 Pengintegralan dengan substitusi
[1] chap 5
[2] chap 5
[3] chap 4
7 Aplikasi integral 7.1 Mengembangkan integral
7.2 Luas daerah bidang
[1] chap 6
[2] chap 6
7.3 Volume benda putas
7.4 Panjang kurva
7.5 Luas permukaan benda putar
[3] chap 5
8 Fungsi transenden 8.1 Fungsi logaritma alam dan eksponensial
8.2 Fungsi-fungsi trigonometri dan inversenya
8.3 Fungsi-fungsi hiperbolik dan inversenya
[1] chap 7
[2] chap
7, 8
[3] chap 6
9 Teknik
pengintegralan
9.1 Pengintegralan dengan substitusi
9.2 Integral trigonometri
9.3 Pengintegralan dengan rasionalisasi
9.4 Pengintegralan bagian demi bagian
9.5 Pengintegralan fungsi rasional
[1] chap 8
[2] chap 9
[3] chap 7
10 Bentuk tak tentu
dan integral tak
wajar
10.1 Bentuk-bentuk tak tentu
10.2 Integral tak wajar: batas tak hingga
10.3 Integral tak wajar: integrand tak hingga
[1] chap 9
[2] chap 8
[3] chap 7
Rujukan
Utama
[1] Varberg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8th Edition,
Prentice Hall Inc, 2000
Penunjang
[2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5th
Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998
[3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),Thomas’ Calculus,
Addison Wesley Publ. Co. 2001
BAB IV
MATRIKS KEGIATAN
Metode pembelajaran:
1. Kuliah Interaktif (KI)
2. Tutorial (T)
3. Diskusi Kelompok (DK)
4. Tugas Individu (TI)
5. Tugas Kelompok (TK)
Sumber Pembelajaran
1. Buku Teks
2. Handout
3. Internet
4. Manual Matlab
Media Instruksional
1. Whiteboard
2. OHP
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Sasaran
Pembelajaran
Minggu Tanggal Metode Pemelajaran
Termin
al
Penunjang O L U
Pokok Bahasan Media
1 1 KI T, TI TI System Bil
2 2 KI T, TK Q fungsi
3 3 KI T, TI TI Limit fungsi
4 4, 5, 6 Limit dan
kontinuitas
5 7 KI T, TI TI turunan
6 8, 9 KI T, TI TI Aplikasi turunan:
perilaku grafik,
maks min
7
1
10, 11,
12
KI T, TI Q Aplikasi turunan
dalam beberapa
bidang
8 UTS
9 13 KI T, TI TI Integral
10
14, 15 KI T, TI Q Aplikasi integral
11 16, 17,18 DK TK TK Aplikasi integral
12
12, 13 KI TK TK,
pleno
Teknik
pengintegralan
13 19 TK TK TK Fungsi-fungsi
transenden
14 19, 20 KI T, TI TI Turunan dan
integral fungsi
transenden
15 20, 21 KI KI KI Bentuk-bentuk
tak tentu
16 UAS
Matriks Kegiatan Tutorial
Pertemuan Tangggal Jam Kegiatan Subpokok
Bahasan
Penanggung
jawab
Ruang
1
2
3
4
5
6
7
8 UTS
9
10
11
12
13
14
15
16 UAS
8
BAB V
CONTOH TUGAS LATIHAN
Tugas Individu
Pokok bahasan Bahan Tugas Individu Keterangan
1. Sistem bilangan
nyata
Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan nyata,
menjelaskan sifat operasi bilangan nyata,
konvensi yang berlaku dengan operasi bilangan
nyata tertentu, menyatakan himpunan dalam
beberapa notasi, menyelesaikan pertaksamaan.
2. fungsi Menjelaskan pentingnya fungsi dalam kehidupan
sehari-hari dan matematika, menjelaskan jenis
fungsi, test garis vektikal
3. limit Mengevaluasi/ mengevaluasi limit
4. turunan Menjelaskan makna geometris turunan fungsi,
mengevaluasi turunan fungsi, menjelaskan
teorema penting dan aplikasinya
5. aplikasi turunan Menentukan sifat grafik fungsi lewat turunan
pertama dan ke dua, menghitung nilai rata-rata
fungsi, menentukan titik ekstrem
6. integral menentukan anti turunan fungsi, menjelaskan
proses pengembangan integral tertentu dan
contohnya
7. aplikasi integral Menghitung besaran-besaran tertentu.
8. fungsi transenden Menentukan grafik inverse fungsi,
9. teknik
pengintegralan
Membuat prosedur umum pengevaluasian
integral, menentukan integral tak tentu dengan
berbagai teknik
10. bentuk tak tentu
dan integral tak wajar
Mengevaluasi kapan aturan L’Hopital dapat
diterapkan, mengevaluasi integral tak wajar
dengan limit, menentukan limit bentuk-bentuk
tertentu
9
Topik Diskusi dan Tugas Kelompok
Pokok bahasan Bahan Diskusi Kelompok
7. Aplikasi Integral Anda diminta membuat prosedur umum penggunaan integral
tertentu untuk menghitung besaran yang terkait dengan
perubahan yang mengikuti sebuah fungsi. Jelaskan rincian
prosedur tersebut untuk menghitung besaran berikut: luas daerah
diantara dua kurva dan dua garis vertical, volume benda putar
(dengan dua pendekatan), panjang kurva, massa, pusat massa,
dan satu aplikasi lain yang serupa.
10
BAB VI
EVALUASI HASIL PEMELAJARAN
Bentuk/jenis instrumen
1. Tugas individu (essay: penyelesaian soal secara aljabar, manual, atau dengan
komputer)
2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi, penyelesaian soal secara
berkelompok)
3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda)
4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda)
Skema Penentuan Nilai Akhir
No Komponen Bobot
1. Tugas Individu (10 kali) 10%
2. Tugas Kelompok (1 kali) 5%
3. Kuis (2 kali) 20%
5. Ujian Tengah Semester ( 1 kali) 30%
6. Ujian Akhir Semester 35%
Total 100%
Kisi-kisi naskah UTS
Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot
K4 Extended response essay
(menentukan, menerapkan,
memilih/ menilai prosedur-prosedur
penyelesaian, memberi
argumentasi)
2 50%
K3 Restricted response essay
(menghitung, menginterpresikan,
imengidentifikasi, mengklasifikasi)
2 30%
K5 Pilihan ganda (menganalisa,
menilai, memilih)
5 20%
Jumlah 9 100%
11
Kisi-kisi naskah UAS
Ranah Kognitif *) Instrumen Jumlah
soal
bobot
K3-K6 Extended response essay
(menentukan, menerapkan,
memilih/ menilai prosedurprosedur
penyelesaian,
memberi argumentasi)
2 50%
K3-K5 Restricted response essay
(menghitung,
menginterpresikan,
imengidentifikasi,
mengklasifikasi)
3 30%
K6 Pilihan ganda (menilai,
memilih)
5 20%
Jumlah 10 100%
*) Bloom’s Taxonomy
12
BAB VII
CONTOH SOAL-SOAL UJIAN
FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA
Ujian Tengah Semester
Kalkulus 1
Tanggal : 26 Maret 2006
Waktu : 100 menit
Sifat : closed book, tanpa kalkulator
Dosen :Heru Suhartanto
Kasiyah M. Junus
Petunjuk:
· Baca baik-baik semua soal, sebelum menjawabnya.
· Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi
· Bobot setiap soal adalah sama (10).
· Ketelitian dan kecermatan sangat diperlukan.
· JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL. Aturlah ukuran huruf Anda supaya
tempat yang disediakan mencukupi.
1. Seorang petani ingin memagari tiga petak sawahnya yang berbentuk persegi
panjang. Ketiga petaksawah tersebut mempunyai ukuran yang sama dan luasnya 300
m2. Berapa panjang dan lebar petak tersebut agar pagar yang dibutuhkan
panjangnya minimum?
2. Jika ( ) , ( ) 2 f x = x2 g x = x - , maka
a. f 2 (r)g(r) = …..
b. (g o f )(t) = ….
c. domain dari fungsi ( )
( )
g x
f x
adalah ………….
3. Tunjukkan bahwa jumlahan dua bilangan rasional adalah bilangan
rasional .
4. Tentukan nilai limit fungsi h(x) berikut ini (jika ada). Jika tidak ada berikan
penjelasan.
a.
| 1|
1
( )
-
= -
x
x
h x , untuk x ®1
b.
( )
( )
( )
f 2 x
g x
h x = , untuk x ®c , dengan f x L g x K
x c x c
= =
® ®
lim ( ) , lim ( )
f (c) ¹ 0
5. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh mengenai grafik fungsi y = f(x) jika dilakukan
test turunan pertama pada f ’(x) di titik-titik kritis dari f ’(x).
6. Apakah Test Turunan Kedua dapat membedakan titik ekstrem lokal dari ekstrem
global? Kapan Test Turunan Kedua tidak memberikan informasi apa-apa? Jelaskan
7. Diberikan grafik fungsi f ’(x) pada interval [-4 , 6]
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
a. Tentukan selang (interval) dimana f naik dan turun.
b. Tentukan untuk x berapa grafik fungsi y = f(x) mempunyai titik belok
(inflection point)?
c. Tentukan untuk x berapa f mencapai titik ekstrem?
Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan melingkari huruf yang sesuai.
8. Berikut ini adalah grafik fungsi y = f(x). Tentukan grafik mana yang merupakan
grafik fungsi yang mempunyai inverse.
(A) (B) (C) (D)
9. Diasumsikan bahwa setiap grafik berikut ini adalah grafik dari fungsi polinomial.
(1) (2) (3) (4)
Urutan grafik berdasarkan derajat (polinomoal) terkecil yang mungkin adalah:
A. (1) (4) (3) (2)
B. (2) (3) (4) (1)
C. (3) (1) (2) (4)
D. (1) (3) (4) (2)
10. Nyatakanlah apakah pernyataan berikut benar atau salah, dan berikan penjelasannya
a. Jumlah dua fungsi genap adalah fungsi genap
b. Jumlah dua fungsi ganjil adalah fungsi ganjil
c. Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil
d. Komposisi dua fungsi ganjil adalah fungsi ge
Mata Ajaran
Kalkulus I
Disusun oleh:
Kasiyah M Junus
Heru Suhartanto
Fakultas Ilmu Komputer
Universitas Indonesia
Agustus 2008

PENGANTAR
Kalkulus I merupakan mata ajaran wajib di Fasilkom dengan bobot 3 SKS. Ada dua masalah
dasar dalam Kalkulus, yaitu masalah garis singgung dan luas. Masalah garis singgung adalah
bagaimana menemukan gradien garis singgung di suatu titik pada kurva. Sedangkan masalah
luas adalah bagaimana menentukan luas daerah bidang diantara suatu kurva sumbu-x pada
interval [a, b]. Kedua masalah tersebut melibatkan grafik fungsi bernilai nyata y = f(x), dan
jawabannya merupakan limit perubahan dan limit jumlahan, yang kemudian kita kenal
sebagai turunan dan integral tertentu. Oleh karena itu, Kalkulus sering disebut sebagai ilmu
yang mempelajari limit. Jawaban dua masalah geometris (yang amat matematis) tersebut
ternyata merupakan kunci dari berbagai masalah terapan dalam ilmu pengetahuan dan
teknologi.
Pada mata ajar Kalkulus I di Fasilkom dibahas turunan dan integral fungsi nyata dengan satu
perubah bebas. Sebagaimana tujuan pemelajaran matematika secara umum, tujuan
pemelajaran Kalkulus I adalah membekali pemelajar dengan berbagai teknik untuk
menyelesaikan masalah (problem solving) terkait dan penalaran matematis (intelletual
sports). Dua hal ini diperlukan oleh mahasiswa Fasilkom sebagai dasar untuk mengikuti mata
ajar lain selanjutnya.
Pendekatan yang dilakukan adalah pemelajaran aktif (active learning) bukan pembelajaran
(instruction). Kuliah yang diselenggarakan bersifat interaktif dan melibatkan pemelajar secara
aktif dalam bentuk antara lain pengerjaan lembar kerja (worksheet). Lembar kerja dirancang
secara hati-hati dengan memperhatikan tujuan pemelajaran, pemelajar, dan metode yang
diterapkan. Lembar kerja menjadi bagian terintegrasi dari pemelajaran, bukan sekedar
lembar latihan saja. Lembar kerja dapat berfungsi sebagai sarana untuk membangkitkan
kembali pengetahuan dasar yang diperlukan, orientasi, latihan, dan umpan balik.
Pemelajar dipacu untuk bekerjasama dan saling tergantung secara positif (positive
dependent) dengan pemelajar lain dalam proses pembentukan pengetahuan.
DAFTAR ISI
PENGANTAR iii
DAFTAR ISI Iv
BAB I INFORMASI UMUM 1
BAB II
SASARAN PEMELAJARAN
Sasaran Pemelajaran Terminal
Sasaran Pemelajaran Penunjang
Diagram Alur
2
2-3
4
BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN
Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan
Rujukan
5-6
6
BAB IV METODE PEMBELAJARAN
Metode Pembalajaran
Sumber Pembelajaran
Media Instruksional
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Matriks Kegiatan Tutorial
7
7
7
7
8
BAB V TUGAS LATIHAN
Tugas Individu
Tugas Kelompok
9
10
BAB VI EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN
Jenis Instrumen
Kisi-kisi Soal UTS
Kisi-kisi soal UAS
Contoh Soal Ujian
11
11
12
12-13
BAB I
INFORMASI UMUM
Nama mata ajar : Kalkulus I
Kode mata ajar : IKI10041
Diberikan pada semester ke- : 2
Jumlah sks : 3
Jenis sks : 2 x 50 menit tatap muka,
50 menit tutorial,
50 menit latihan mandiri/ berkelompok
Prasyarat : -
Kaitan dengan mata ajar lain : Kalkulus II
Persamaan Differensial
Grafika Komputer
Pengolahan Citra
Analisa Numerik
Aljabar Linier Numerik
Aproksimasi Sistem Non-Linier
Jadwal
Dosen : Dra. Kasiyah, MSc
Heru Suhartanto, PhD
Tutor :
Bagan hubungan dengan mata kuliah lain:
Kalkulus I Kalkulus II Persamaan Differensial – KI
Grafika Komputer – TPL
Pengolahan Citra – TPL / KI
Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik – KI
Aproksimasi Sistem Non-
Linier – KI
Petunjuk Pemelajaran
Untuk menjaga kelancaran proses pemelajaran dan menjamin efektifitasnya, maka
diberlakukan aturan berikut ini.
1. Pemelajar diharapkan mempersiapkan diri sebelum masuk kelas dengan
membaca materi yang akan dipelajari.
2. Pada setiap sesi, pemelajar diwajibkan membawa lembar kerja yang sesuai.
3. Selama proses pemelajaran, pemelajar diharapkan aktif terlibat dan tidak
melakukan kegiatan lain (misanya mengerjakan tugas kuliah lain).
4. Mahasiswa dilarang keras menganggu jalannya pemelajaran dengan
menghidupkan dering HP, menerima telepon, maupun pesan singkat.
5. Jika terlambat dan pintu sudah ditutup, mahasiswa diharapkan untuk tidak
masuk kelas supaya tidak menganggu jalannya pemelajaran.
6. Dalam mengerjakan tugas rumah, pemelajar diperbolehkan (didorong) untuk
melakukan belajar kelompok. Namun, dalam memberikan jawaban tidak
boleh menyalin pekerjaan orang lain meskipun dalam kelompok belajar yang
sama. Mahasiswa diminta untuk meluliskan teman belajarnya dalam
mengerjakan pekerjaan rumah.
7. Dalam tugas kelompok, penilaian teman akan menjadi faktor pengali untuk
nilai ndividual.
8. Keterlambatan mengumpulkan tugas akan mengurangi nilai.
9. TIDAK akan diberikan susulan quiz, ujian tengah semester, ujian akhir
semester tanpa surat keterangan dokter. Surat keterangan dokter harap
diberikan sesegera mungkin, dan pada saat jadwal quiz atau ujian, kondisi ini
sudah harus diketahui dosen.
10. Dosen tidak wajib memberitahu jadwal quiz. Jadwal ujian tengah dan akhir
semester diberikan.
11. TIDAK ada tugas tambahan dengan tujuan untuk memperbaiki nilai.
Kesempatan untuk menunjukkan prestasi belajar diberikan selama satu
semester penuh.
12. Mahasiswa diharapkan datang pada saat sesi perkuliahan, karena pada
pemelajaran kolaboratif pemelajar harus memberikan kontribusinya.
13. Pemelajar diharapkan mengisi daftar hadir.
14. Kecurangan (mengabsenkan orang lain, menyontek, dll) bisa didiskualifikasi
dan mendapat nilai E.
BAB II
SASARAN PEMELAJARAN
Sejalan dengan tujuan pengajaran Matematika, tujuan pemelajaran Kalkulus I
meliputi aspek problem solving dan intellectual sport. Secara rinci, kedua tujuan
tersebut dijabarkan dalam tujuan pemelajaran terminal (tujuan instruksonal umum)
dan tujuan pemelajaran penunjang (tujuan instruksional khusus) sebagai berikut.
Sasaran pemelajaran terminal
Setelah mengikuti mata ajaran Kalkulus I selama satu semester, mahasiswa
diharapkan memiliki kemampuan berikut ini.
1. Dapat menyelesaikan masalah terkait dengan turunan: menentukan
karakteristik fungsi berdasarkan turunannya, menentukan nilai ekstrem fungsi
kontinu pada interval tertutup, dan laju perubahan.
2. Memahami kaitan dua konsep dasar Kalkulus (turunan dan intergral tertentu)
secara tepat.
3. Dapat menghitung luas antara dua kurva sederhana, panjang kurva pada
suatu interval, dan volume benda putar terhadap sumbu koordinat dengan
tepat.
Untuk mencapai sasaran pemelajaran terminal tersebut, secara bertahap pemelajar
diharapkan mencapai sasaran penunjang terlebih dahulu. Berikut ini sasaran
penunjang yang terkait.
Sasaran pemelajaran penunjang
1. Pemelajar memahami konsep bilangan nyata yang meliputi sifat-sifat operasi
biner di dalamnya, pertidaksamaan, nilai mutlak, konvensi yang berlaku, dan
jenis-jenis interval.
2. Pemelajar memahami fungsi, dapat menggambar grafik fungsi-fungsi
sederhana, dapat melakukan operasi aljabar pada fungsi nyata yang
diberikan, dan dapat mengidentifikasi jenisnya.
3. Jika diberikan fungsi aljabar dan trigonometri dan titik pada domain,
mahasiswa dapat menentukan limitnya jika ada.
4. Mahasiswa dapat menurunkan sifat-sifat limit fungsi aljabar dan trigonometri
dan dapat menerapkannya untuk mengevaluasi limit fungsi yang diberikan.
5. Jika diberikan fungsi, pemelajar mampu menentukan kontinuitasnya pada titik
atau interval yang diberikan.
6. Jika diberikan fungsi bernilai nyata, pemelajar dapat menentukan limitnya jika
x menuju tak hingga, dan dapat menentukan kapan fungsi mempunyai limit
tak hingga.
7. Pemelajar memahami interpretasi geometris dari turunan fungsi bernilai
nyata.
8. Pemelajar memahami bagaimana memperoleh aturan penurunan, dan dapat
secara tepat menerapkan aturan tersebut untuk menurunkan fungsi yang
diberikan.
9. Pemelajar dapat menentukan nilai pendekatan nilai fungsi aljabar di sekitar
suatu titik yang diberikan dengan menggunakan diffenrensial.
10. Pemelajar dapat menentukan (secara aljabar) nilai ekstrem fungsi di interval
yang diberikan.
11. Pemelajar dapat memanfaatkan turunan untuk mengidentifikasi perilaku
fungsi (naik-turun, kecekungan, titik belok, dsb).
12. Jika diberikan suatu fungsi, pemelajar dapat menentukan anti turunannya.
13. Pemelajar memahami masalah luas dan penyelesaiannya dalam bentuk
integral tertentu.
14. Pemelajar memahami kaitan integral tertentu, dan anti turunan.
15. Pemelajar memahami dan dapat menerapkan teorema nilai rata-rata untuk
turunan dan integral.
16. Pemelajar dapat menghitung luas daerah antara dua kurva yang diberikan
dan pada interval tertentu.
17. Pemelajar dapat menghitung volume benda yang diperoleh dengan memutar
kurva sederhana terhadap sumbu koordinat.
18. Pemelajar dapat menghitung panjang kurva sederhana sepanjang interval
tertentu.
19. Pemelajar memahami definisi fungsi-fungsi transenden, dapat membuat
sketsa grafiknya, dapat mengaitkan fungsi transenden dan inversenya,
menentukan turunan dan antiturunannya.
20. Jika diberikan fungsi, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk
menentukan integralnya.
21. Jika diberikan bentuk-bentuk tak tentu (sederhana) dalam limit, pemelajar
dapat memilih metode yang tepat untuk mengevaluasinya.
22. Pemelajar dapat memanfaatkan limit untuk mengevaluasi integral tak
sebenarnya.
Diagram alur tujuan pembelajaran
Sistem Bilangan Nyata
Fungsi
Limit
Masalah garis singgung Masalah luas
Turunan Teorema Dasar Kalkulus Integral
Kontinuitas fungsi
Aplikasi integral Teknik pengintegralan
Aplikasi turunan
Fungsi transenden
Diagram alur tujuan pembelajaran di atas juga memperlihatkan keterkaitan antara
pokok-pokok pembahasan. Urutan penyampaian materi sedikit berbeda dengan
diagram alur. Determinan dan Aturan Cramer dibahas terlebih dahulu sebelum
pembahasan vektor pada bidang dan ruang, dengan dua pertimbangan. Pertama,
mahasiswa sudah mempunyai dasar pengetahuan yang cukup dari SMU; kedua,
pokok bahasan ini terkait erat dengan pokok bahasan operasi baris pada matriks.
BAB III
BAHASAN DAN RUJUKAN
Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan
No Pokok Bahasan Subpokok bahasan
Rujukan
1 Sistem Bilangan
Nyata
1.1 Sistem Bilangan Nyata
1.2 Nilai Mutlak
1.3 Pertaksamaan dan Interval
[1] chap 1
2 fungsi 2.1 Pengertian Fungsi
2.2 Grafik Fungsi
2.3 Fungsi Genap, Ganjil
2.4 Katalog Fungsi-fungsi
[1] chap 2
[2] chap 1
[3] chap 0
3 limit 3.1 Konsep Limit
3.2 Sifat dan teorema limit
3.3 Kontinuitas
[1] chap 2
[2] chap 2
[3] chap 1
4 Turunan Turunan
4.1 Pengetian turunan
4.2 Fungsi terdeferensial
4.3 Aturan Penurunan dasar
4.4 Aturan Rantai
4.5 Turunan fungsi-fugsi aljabar
4.6 Turunan fungsi trigonometri
4.7 Kontinuitas
[1] chap 3
[2] chap 3
[3] chap 2
5 Aplikasi turunan 5.1 Fungsi naik dan turun, dan Teorema Nilai
Mean
5.2 Titik esktrem fungsi
5.3 Kecekungan
5.4 Penurunan implisit dan laju perubahan
5.5 Increament, differensial, dan pendekatan
linier
[1] chap 4
[2] chap 4
[3] chap 3
6 Integral 6.1 Antiturunan dan Masalah nilai awal
6.2 Notasi sigma
6.3 Limit jumlahan Riemann dan integral
6.4 Mengevaluasi integral
6.5 Nilai rata-rata fungsi
6.6 Teorema dasar kalkulus
6.7 Pengintegralan dengan substitusi
[1] chap 5
[2] chap 5
[3] chap 4
7 Aplikasi integral 7.1 Mengembangkan integral
7.2 Luas daerah bidang
[1] chap 6
[2] chap 6
7.3 Volume benda putas
7.4 Panjang kurva
7.5 Luas permukaan benda putar
[3] chap 5
8 Fungsi transenden 8.1 Fungsi logaritma alam dan eksponensial
8.2 Fungsi-fungsi trigonometri dan inversenya
8.3 Fungsi-fungsi hiperbolik dan inversenya
[1] chap 7
[2] chap
7, 8
[3] chap 6
9 Teknik
pengintegralan
9.1 Pengintegralan dengan substitusi
9.2 Integral trigonometri
9.3 Pengintegralan dengan rasionalisasi
9.4 Pengintegralan bagian demi bagian
9.5 Pengintegralan fungsi rasional
[1] chap 8
[2] chap 9
[3] chap 7
10 Bentuk tak tentu
dan integral tak
wajar
10.1 Bentuk-bentuk tak tentu
10.2 Integral tak wajar: batas tak hingga
10.3 Integral tak wajar: integrand tak hingga
[1] chap 9
[2] chap 8
[3] chap 7
Rujukan
Utama
[1] Varberg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8th Edition,
Prentice Hall Inc, 2000
Penunjang
[2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5th
Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998
[3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),Thomas’ Calculus,
Addison Wesley Publ. Co. 2001
BAB IV
MATRIKS KEGIATAN
Metode pembelajaran:
1. Kuliah Interaktif (KI)
2. Tutorial (T)
3. Diskusi Kelompok (DK)
4. Tugas Individu (TI)
5. Tugas Kelompok (TK)
Sumber Pembelajaran
1. Buku Teks
2. Handout
3. Internet
4. Manual Matlab
Media Instruksional
1. Whiteboard
2. OHP
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Sasaran
Pembelajaran
Minggu Tanggal Metode Pemelajaran
Termin
al
Penunjang O L U
Pokok Bahasan Media
1 1 KI T, TI TI System Bil
2 2 KI T, TK Q fungsi
3 3 KI T, TI TI Limit fungsi
4 4, 5, 6 Limit dan
kontinuitas
5 7 KI T, TI TI turunan
6 8, 9 KI T, TI TI Aplikasi turunan:
perilaku grafik,
maks min
7
1
10, 11,
12
KI T, TI Q Aplikasi turunan
dalam beberapa
bidang
8 UTS
9 13 KI T, TI TI Integral
10
14, 15 KI T, TI Q Aplikasi integral
11 16, 17,18 DK TK TK Aplikasi integral
12
12, 13 KI TK TK,
pleno
Teknik
pengintegralan
13 19 TK TK TK Fungsi-fungsi
transenden
14 19, 20 KI T, TI TI Turunan dan
integral fungsi
transenden
15 20, 21 KI KI KI Bentuk-bentuk
tak tentu
16 UAS
Matriks Kegiatan Tutorial
Pertemuan Tangggal Jam Kegiatan Subpokok
Bahasan
Penanggung
jawab
Ruang
1
2
3
4
5
6
7
8 UTS
9
10
11
12
13
14
15
16 UAS
8
BAB V
CONTOH TUGAS LATIHAN
Tugas Individu
Pokok bahasan Bahan Tugas Individu Keterangan
1. Sistem bilangan
nyata
Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan nyata,
menjelaskan sifat operasi bilangan nyata,
konvensi yang berlaku dengan operasi bilangan
nyata tertentu, menyatakan himpunan dalam
beberapa notasi, menyelesaikan pertaksamaan.
2. fungsi Menjelaskan pentingnya fungsi dalam kehidupan
sehari-hari dan matematika, menjelaskan jenis
fungsi, test garis vektikal
3. limit Mengevaluasi/ mengevaluasi limit
4. turunan Menjelaskan makna geometris turunan fungsi,
mengevaluasi turunan fungsi, menjelaskan
teorema penting dan aplikasinya
5. aplikasi turunan Menentukan sifat grafik fungsi lewat turunan
pertama dan ke dua, menghitung nilai rata-rata
fungsi, menentukan titik ekstrem
6. integral menentukan anti turunan fungsi, menjelaskan
proses pengembangan integral tertentu dan
contohnya
7. aplikasi integral Menghitung besaran-besaran tertentu.
8. fungsi transenden Menentukan grafik inverse fungsi,
9. teknik
pengintegralan
Membuat prosedur umum pengevaluasian
integral, menentukan integral tak tentu dengan
berbagai teknik
10. bentuk tak tentu
dan integral tak wajar
Mengevaluasi kapan aturan L’Hopital dapat
diterapkan, mengevaluasi integral tak wajar
dengan limit, menentukan limit bentuk-bentuk
tertentu
9
Topik Diskusi dan Tugas Kelompok
Pokok bahasan Bahan Diskusi Kelompok
7. Aplikasi Integral Anda diminta membuat prosedur umum penggunaan integral
tertentu untuk menghitung besaran yang terkait dengan
perubahan yang mengikuti sebuah fungsi. Jelaskan rincian
prosedur tersebut untuk menghitung besaran berikut: luas daerah
diantara dua kurva dan dua garis vertical, volume benda putar
(dengan dua pendekatan), panjang kurva, massa, pusat massa,
dan satu aplikasi lain yang serupa.
10
BAB VI
EVALUASI HASIL PEMELAJARAN
Bentuk/jenis instrumen
1. Tugas individu (essay: penyelesaian soal secara aljabar, manual, atau dengan
komputer)
2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi, penyelesaian soal secara
berkelompok)
3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda)
4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda)
Skema Penentuan Nilai Akhir
No Komponen Bobot
1. Tugas Individu (10 kali) 10%
2. Tugas Kelompok (1 kali) 5%
3. Kuis (2 kali) 20%
5. Ujian Tengah Semester ( 1 kali) 30%
6. Ujian Akhir Semester 35%
Total 100%
Kisi-kisi naskah UTS
Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot
K4 Extended response essay
(menentukan, menerapkan,
memilih/ menilai prosedur-prosedur
penyelesaian, memberi
argumentasi)
2 50%
K3 Restricted response essay
(menghitung, menginterpresikan,
imengidentifikasi, mengklasifikasi)
2 30%
K5 Pilihan ganda (menganalisa,
menilai, memilih)
5 20%
Jumlah 9 100%
11
Kisi-kisi naskah UAS
Ranah Kognitif *) Instrumen Jumlah
soal
bobot
K3-K6 Extended response essay
(menentukan, menerapkan,
memilih/ menilai prosedurprosedur
penyelesaian,
memberi argumentasi)
2 50%
K3-K5 Restricted response essay
(menghitung,
menginterpresikan,
imengidentifikasi,
mengklasifikasi)
3 30%
K6 Pilihan ganda (menilai,
memilih)
5 20%
Jumlah 10 100%
*) Bloom’s Taxonomy
12
BAB VII
CONTOH SOAL-SOAL UJIAN
FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA
Ujian Tengah Semester
Kalkulus 1
Tanggal : 26 Maret 2006
Waktu : 100 menit
Sifat : closed book, tanpa kalkulator
Dosen :Heru Suhartanto
Kasiyah M. Junus
Petunjuk:
· Baca baik-baik semua soal, sebelum menjawabnya.
· Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi
· Bobot setiap soal adalah sama (10).
· Ketelitian dan kecermatan sangat diperlukan.
· JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL. Aturlah ukuran huruf Anda supaya
tempat yang disediakan mencukupi.
1. Seorang petani ingin memagari tiga petak sawahnya yang berbentuk persegi
panjang. Ketiga petaksawah tersebut mempunyai ukuran yang sama dan luasnya 300
m2. Berapa panjang dan lebar petak tersebut agar pagar yang dibutuhkan
panjangnya minimum?
2. Jika ( ) , ( ) 2 f x = x2 g x = x - , maka
a. f 2 (r)g(r) = …..
b. (g o f )(t) = ….
c. domain dari fungsi ( )
( )
g x
f x
adalah ………….
3. Tunjukkan bahwa jumlahan dua bilangan rasional adalah bilangan
rasional .
4. Tentukan nilai limit fungsi h(x) berikut ini (jika ada). Jika tidak ada berikan
penjelasan.
a.
| 1|
1
( )
-
= -
x
x
h x , untuk x ®1
b.
( )
( )
( )
f 2 x
g x
h x = , untuk x ®c , dengan f x L g x K
x c x c
= =
® ®
lim ( ) , lim ( )
f (c) ¹ 0
5. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh mengenai grafik fungsi y = f(x) jika dilakukan
test turunan pertama pada f ’(x) di titik-titik kritis dari f ’(x).
6. Apakah Test Turunan Kedua dapat membedakan titik ekstrem lokal dari ekstrem
global? Kapan Test Turunan Kedua tidak memberikan informasi apa-apa? Jelaskan
7. Diberikan grafik fungsi f ’(x) pada interval [-4 , 6]
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
a. Tentukan selang (interval) dimana f naik dan turun.
b. Tentukan untuk x berapa grafik fungsi y = f(x) mempunyai titik belok
(inflection point)?
c. Tentukan untuk x berapa f mencapai titik ekstrem?
Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan melingkari huruf yang sesuai.
8. Berikut ini adalah grafik fungsi y = f(x). Tentukan grafik mana yang merupakan
grafik fungsi yang mempunyai inverse.
(A) (B) (C) (D)
9. Diasumsikan bahwa setiap grafik berikut ini adalah grafik dari fungsi polinomial.
(1) (2) (3) (4)
Urutan grafik berdasarkan derajat (polinomoal) terkecil yang mungkin adalah:
A. (1) (4) (3) (2)
B. (2) (3) (4) (1)
C. (3) (1) (2) (4)
D. (1) (3) (4) (2)
10. Nyatakanlah apakah pernyataan berikut benar atau salah, dan berikan penjelasannya
a. Jumlah dua fungsi genap adalah fungsi genap
b. Jumlah dua fungsi ganjil adalah fungsi ganjil
c. Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil
d. Komposisi dua fungsi ganjil adalah fungsi ge