Minggu, 03 Juni 2012

Materi Mata Kuliah KALKULUS 1 Beberapa buku KALKULUS yang saya pakai: 1. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi oleh Yusuf Yahya, D. Suryadi HS, Agus S Penerbit Ghalia Indonesia ISBN 979-450-008-9 2. Matematika I oleh Soehardjo Diktat kuliah di ITS / ITATS, tidak dipublikasikan. 3. Kalkulus dan Geometri Analitis oleh Edwin J Purcell & Dale Vanberg Penerbit Erlangga, Edisi V. (ada di perpustakaan) 4. Kalkulus oleh THOMAS bisa download di sini Plus buku Kalkulus berbahasa Inggris, seperti karya Kreyszig, Thomas Kalkulus 1 Minggu pertama. HIMPUNAN Kalkulus 1 Minggu kedua. Bilangan. Kalkulus 1 Minggu ke tiga Vektor atau di sini Revisi: Vektor: Dot product + Cross Product Minggu ke 4. Fungsi Fungsi Revisi Minggu ke 5. LIMIT UPDATE: Materi Limit Met belajar utk UTS turunan turunan 2

Materi Mata Kuliah KALKULUS 1

Beberapa buku KALKULUS yang saya pakai:
1. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi
oleh Yusuf Yahya, D. Suryadi HS, Agus S
Penerbit Ghalia Indonesia
ISBN 979-450-008-9
2. Matematika I
oleh Soehardjo
Diktat kuliah di ITS / ITATS, tidak dipublikasikan.
3. Kalkulus dan Geometri Analitis
oleh Edwin J Purcell & Dale Vanberg
Penerbit Erlangga, Edisi V.
(ada di perpustakaan)
4. Kalkulus oleh THOMAS
bisa download di sini
Plus buku Kalkulus berbahasa Inggris, seperti
karya Kreyszig, Thomas
Kalkulus 1 Minggu pertama. HIMPUNAN
Kalkulus 1 Minggu kedua. Bilangan.
Kalkulus 1 Minggu ke tiga Vektor atau di sini
Revisi: Vektor: Dot product + Cross Product
Minggu ke 4. Fungsi
Fungsi Revisi
Minggu ke 5. LIMIT
UPDATE: Materi Limit
Met belajar utk UTS
turunan
turunan 2
Beberapa buku KALKULUS yang saya pakai:
1. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi
oleh Yusuf Yahya, D. Suryadi HS, Agus S
Penerbit Ghalia Indonesia
ISBN 979-450-008-9
2. Matematika I
oleh Soehardjo
Diktat kuliah di ITS / ITATS, tidak dipublikasikan.
3. Kalkulus dan Geometri Analitis
oleh Edwin J Purcell & Dale Vanberg
Penerbit Erlangga, Edisi V.
(ada di perpustakaan)
4. Kalkulus oleh THOMAS
bisa download di sini
Plus buku Kalkulus berbahasa Inggris, seperti
karya Kreyszig, Thomas
Kalkulus 1 Minggu pertama. HIMPUNAN
Kalkulus 1 Minggu kedua. Bilangan.
Kalkulus 1 Minggu ke tiga Vektor atau di sini
Revisi: Vektor: Dot product + Cross Product
Minggu ke 4. Fungsi
Fungsi Revisi
Minggu ke 5. LIMIT
UPDATE: Materi Limit
Met belajar utk UTS
turunan
turunan 2

BUKU RANCANGAN PENGAJARAN Mata Ajaran Kalkulus I Disusun oleh: Kasiyah M Junus Heru Suhartanto Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Agustus 2008 PENGANTAR Kalkulus I merupakan mata ajaran wajib di Fasilkom dengan bobot 3 SKS. Ada dua masalah dasar dalam Kalkulus, yaitu masalah garis singgung dan luas. Masalah garis singgung adalah bagaimana menemukan gradien garis singgung di suatu titik pada kurva. Sedangkan masalah luas adalah bagaimana menentukan luas daerah bidang diantara suatu kurva sumbu-x pada interval [a, b]. Kedua masalah tersebut melibatkan grafik fungsi bernilai nyata y = f(x), dan jawabannya merupakan limit perubahan dan limit jumlahan, yang kemudian kita kenal sebagai turunan dan integral tertentu. Oleh karena itu, Kalkulus sering disebut sebagai ilmu yang mempelajari limit. Jawaban dua masalah geometris (yang amat matematis) tersebut ternyata merupakan kunci dari berbagai masalah terapan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi. Pada mata ajar Kalkulus I di Fasilkom dibahas turunan dan integral fungsi nyata dengan satu perubah bebas. Sebagaimana tujuan pemelajaran matematika secara umum, tujuan pemelajaran Kalkulus I adalah membekali pemelajar dengan berbagai teknik untuk menyelesaikan masalah (problem solving) terkait dan penalaran matematis (intelletual sports). Dua hal ini diperlukan oleh mahasiswa Fasilkom sebagai dasar untuk mengikuti mata ajar lain selanjutnya. Pendekatan yang dilakukan adalah pemelajaran aktif (active learning) bukan pembelajaran (instruction). Kuliah yang diselenggarakan bersifat interaktif dan melibatkan pemelajar secara aktif dalam bentuk antara lain pengerjaan lembar kerja (worksheet). Lembar kerja dirancang secara hati-hati dengan memperhatikan tujuan pemelajaran, pemelajar, dan metode yang diterapkan. Lembar kerja menjadi bagian terintegrasi dari pemelajaran, bukan sekedar lembar latihan saja. Lembar kerja dapat berfungsi sebagai sarana untuk membangkitkan kembali pengetahuan dasar yang diperlukan, orientasi, latihan, dan umpan balik. Pemelajar dipacu untuk bekerjasama dan saling tergantung secara positif (positive dependent) dengan pemelajar lain dalam proses pembentukan pengetahuan. DAFTAR ISI PENGANTAR iii DAFTAR ISI Iv BAB I INFORMASI UMUM 1 BAB II SASARAN PEMELAJARAN Sasaran Pemelajaran Terminal Sasaran Pemelajaran Penunjang Diagram Alur 2 2-3 4 BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan Rujukan 5-6 6 BAB IV METODE PEMBELAJARAN Metode Pembalajaran Sumber Pembelajaran Media Instruksional Matriks Kegiatan Perkuliahan Matriks Kegiatan Tutorial 7 7 7 7 8 BAB V TUGAS LATIHAN Tugas Individu Tugas Kelompok 9 10 BAB VI EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN Jenis Instrumen Kisi-kisi Soal UTS Kisi-kisi soal UAS Contoh Soal Ujian 11 11 12 12-13 BAB I INFORMASI UMUM Nama mata ajar : Kalkulus I Kode mata ajar : IKI10041 Diberikan pada semester ke- : 2 Jumlah sks : 3 Jenis sks : 2 x 50 menit tatap muka, 50 menit tutorial, 50 menit latihan mandiri/ berkelompok Prasyarat : - Kaitan dengan mata ajar lain : Kalkulus II Persamaan Differensial Grafika Komputer Pengolahan Citra Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik Aproksimasi Sistem Non-Linier Jadwal Dosen : Dra. Kasiyah, MSc Heru Suhartanto, PhD Tutor : Bagan hubungan dengan mata kuliah lain: Kalkulus I Kalkulus II Persamaan Differensial – KI Grafika Komputer – TPL Pengolahan Citra – TPL / KI Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik – KI Aproksimasi Sistem Non- Linier – KI Petunjuk Pemelajaran Untuk menjaga kelancaran proses pemelajaran dan menjamin efektifitasnya, maka diberlakukan aturan berikut ini. 1. Pemelajar diharapkan mempersiapkan diri sebelum masuk kelas dengan membaca materi yang akan dipelajari. 2. Pada setiap sesi, pemelajar diwajibkan membawa lembar kerja yang sesuai. 3. Selama proses pemelajaran, pemelajar diharapkan aktif terlibat dan tidak melakukan kegiatan lain (misanya mengerjakan tugas kuliah lain). 4. Mahasiswa dilarang keras menganggu jalannya pemelajaran dengan menghidupkan dering HP, menerima telepon, maupun pesan singkat. 5. Jika terlambat dan pintu sudah ditutup, mahasiswa diharapkan untuk tidak masuk kelas supaya tidak menganggu jalannya pemelajaran. 6. Dalam mengerjakan tugas rumah, pemelajar diperbolehkan (didorong) untuk melakukan belajar kelompok. Namun, dalam memberikan jawaban tidak boleh menyalin pekerjaan orang lain meskipun dalam kelompok belajar yang sama. Mahasiswa diminta untuk meluliskan teman belajarnya dalam mengerjakan pekerjaan rumah. 7. Dalam tugas kelompok, penilaian teman akan menjadi faktor pengali untuk nilai ndividual. 8. Keterlambatan mengumpulkan tugas akan mengurangi nilai. 9. TIDAK akan diberikan susulan quiz, ujian tengah semester, ujian akhir semester tanpa surat keterangan dokter. Surat keterangan dokter harap diberikan sesegera mungkin, dan pada saat jadwal quiz atau ujian, kondisi ini sudah harus diketahui dosen. 10. Dosen tidak wajib memberitahu jadwal quiz. Jadwal ujian tengah dan akhir semester diberikan. 11. TIDAK ada tugas tambahan dengan tujuan untuk memperbaiki nilai. Kesempatan untuk menunjukkan prestasi belajar diberikan selama satu semester penuh. 12. Mahasiswa diharapkan datang pada saat sesi perkuliahan, karena pada pemelajaran kolaboratif pemelajar harus memberikan kontribusinya. 13. Pemelajar diharapkan mengisi daftar hadir. 14. Kecurangan (mengabsenkan orang lain, menyontek, dll) bisa didiskualifikasi dan mendapat nilai E. BAB II SASARAN PEMELAJARAN Sejalan dengan tujuan pengajaran Matematika, tujuan pemelajaran Kalkulus I meliputi aspek problem solving dan intellectual sport. Secara rinci, kedua tujuan tersebut dijabarkan dalam tujuan pemelajaran terminal (tujuan instruksonal umum) dan tujuan pemelajaran penunjang (tujuan instruksional khusus) sebagai berikut. Sasaran pemelajaran terminal Setelah mengikuti mata ajaran Kalkulus I selama satu semester, mahasiswa diharapkan memiliki kemampuan berikut ini. 1. Dapat menyelesaikan masalah terkait dengan turunan: menentukan karakteristik fungsi berdasarkan turunannya, menentukan nilai ekstrem fungsi kontinu pada interval tertutup, dan laju perubahan. 2. Memahami kaitan dua konsep dasar Kalkulus (turunan dan intergral tertentu) secara tepat. 3. Dapat menghitung luas antara dua kurva sederhana, panjang kurva pada suatu interval, dan volume benda putar terhadap sumbu koordinat dengan tepat. Untuk mencapai sasaran pemelajaran terminal tersebut, secara bertahap pemelajar diharapkan mencapai sasaran penunjang terlebih dahulu. Berikut ini sasaran penunjang yang terkait. Sasaran pemelajaran penunjang 1. Pemelajar memahami konsep bilangan nyata yang meliputi sifat-sifat operasi biner di dalamnya, pertidaksamaan, nilai mutlak, konvensi yang berlaku, dan jenis-jenis interval. 2. Pemelajar memahami fungsi, dapat menggambar grafik fungsi-fungsi sederhana, dapat melakukan operasi aljabar pada fungsi nyata yang diberikan, dan dapat mengidentifikasi jenisnya. 3. Jika diberikan fungsi aljabar dan trigonometri dan titik pada domain, mahasiswa dapat menentukan limitnya jika ada. 4. Mahasiswa dapat menurunkan sifat-sifat limit fungsi aljabar dan trigonometri dan dapat menerapkannya untuk mengevaluasi limit fungsi yang diberikan. 5. Jika diberikan fungsi, pemelajar mampu menentukan kontinuitasnya pada titik atau interval yang diberikan. 6. Jika diberikan fungsi bernilai nyata, pemelajar dapat menentukan limitnya jika x menuju tak hingga, dan dapat menentukan kapan fungsi mempunyai limit tak hingga. 7. Pemelajar memahami interpretasi geometris dari turunan fungsi bernilai nyata. 8. Pemelajar memahami bagaimana memperoleh aturan penurunan, dan dapat secara tepat menerapkan aturan tersebut untuk menurunkan fungsi yang diberikan. 9. Pemelajar dapat menentukan nilai pendekatan nilai fungsi aljabar di sekitar suatu titik yang diberikan dengan menggunakan diffenrensial. 10. Pemelajar dapat menentukan (secara aljabar) nilai ekstrem fungsi di interval yang diberikan. 11. Pemelajar dapat memanfaatkan turunan untuk mengidentifikasi perilaku fungsi (naik-turun, kecekungan, titik belok, dsb). 12. Jika diberikan suatu fungsi, pemelajar dapat menentukan anti turunannya. 13. Pemelajar memahami masalah luas dan penyelesaiannya dalam bentuk integral tertentu. 14. Pemelajar memahami kaitan integral tertentu, dan anti turunan. 15. Pemelajar memahami dan dapat menerapkan teorema nilai rata-rata untuk turunan dan integral. 16. Pemelajar dapat menghitung luas daerah antara dua kurva yang diberikan dan pada interval tertentu. 17. Pemelajar dapat menghitung volume benda yang diperoleh dengan memutar kurva sederhana terhadap sumbu koordinat. 18. Pemelajar dapat menghitung panjang kurva sederhana sepanjang interval tertentu. 19. Pemelajar memahami definisi fungsi-fungsi transenden, dapat membuat sketsa grafiknya, dapat mengaitkan fungsi transenden dan inversenya, menentukan turunan dan antiturunannya. 20. Jika diberikan fungsi, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk menentukan integralnya. 21. Jika diberikan bentuk-bentuk tak tentu (sederhana) dalam limit, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk mengevaluasinya. 22. Pemelajar dapat memanfaatkan limit untuk mengevaluasi integral tak sebenarnya. Diagram alur tujuan pembelajaran Sistem Bilangan Nyata Fungsi Limit Masalah garis singgung Masalah luas Turunan Teorema Dasar Kalkulus Integral Kontinuitas fungsi Aplikasi integral Teknik pengintegralan Aplikasi turunan Fungsi transenden Diagram alur tujuan pembelajaran di atas juga memperlihatkan keterkaitan antara pokok-pokok pembahasan. Urutan penyampaian materi sedikit berbeda dengan diagram alur. Determinan dan Aturan Cramer dibahas terlebih dahulu sebelum pembahasan vektor pada bidang dan ruang, dengan dua pertimbangan. Pertama, mahasiswa sudah mempunyai dasar pengetahuan yang cukup dari SMU; kedua, pokok bahasan ini terkait erat dengan pokok bahasan operasi baris pada matriks. BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan No Pokok Bahasan Subpokok bahasan Rujukan 1 Sistem Bilangan Nyata 1.1 Sistem Bilangan Nyata 1.2 Nilai Mutlak 1.3 Pertaksamaan dan Interval [1] chap 1 2 fungsi 2.1 Pengertian Fungsi 2.2 Grafik Fungsi 2.3 Fungsi Genap, Ganjil 2.4 Katalog Fungsi-fungsi [1] chap 2 [2] chap 1 [3] chap 0 3 limit 3.1 Konsep Limit 3.2 Sifat dan teorema limit 3.3 Kontinuitas [1] chap 2 [2] chap 2 [3] chap 1 4 Turunan Turunan 4.1 Pengetian turunan 4.2 Fungsi terdeferensial 4.3 Aturan Penurunan dasar 4.4 Aturan Rantai 4.5 Turunan fungsi-fugsi aljabar 4.6 Turunan fungsi trigonometri 4.7 Kontinuitas [1] chap 3 [2] chap 3 [3] chap 2 5 Aplikasi turunan 5.1 Fungsi naik dan turun, dan Teorema Nilai Mean 5.2 Titik esktrem fungsi 5.3 Kecekungan 5.4 Penurunan implisit dan laju perubahan 5.5 Increament, differensial, dan pendekatan linier [1] chap 4 [2] chap 4 [3] chap 3 6 Integral 6.1 Antiturunan dan Masalah nilai awal 6.2 Notasi sigma 6.3 Limit jumlahan Riemann dan integral 6.4 Mengevaluasi integral 6.5 Nilai rata-rata fungsi 6.6 Teorema dasar kalkulus 6.7 Pengintegralan dengan substitusi [1] chap 5 [2] chap 5 [3] chap 4 7 Aplikasi integral 7.1 Mengembangkan integral 7.2 Luas daerah bidang [1] chap 6 [2] chap 6 7.3 Volume benda putas 7.4 Panjang kurva 7.5 Luas permukaan benda putar [3] chap 5 8 Fungsi transenden 8.1 Fungsi logaritma alam dan eksponensial 8.2 Fungsi-fungsi trigonometri dan inversenya 8.3 Fungsi-fungsi hiperbolik dan inversenya [1] chap 7 [2] chap 7, 8 [3] chap 6 9 Teknik pengintegralan 9.1 Pengintegralan dengan substitusi 9.2 Integral trigonometri 9.3 Pengintegralan dengan rasionalisasi 9.4 Pengintegralan bagian demi bagian 9.5 Pengintegralan fungsi rasional [1] chap 8 [2] chap 9 [3] chap 7 10 Bentuk tak tentu dan integral tak wajar 10.1 Bentuk-bentuk tak tentu 10.2 Integral tak wajar: batas tak hingga 10.3 Integral tak wajar: integrand tak hingga [1] chap 9 [2] chap 8 [3] chap 7 Rujukan Utama [1] Varberg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8th Edition, Prentice Hall Inc, 2000 Penunjang [2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5th Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998 [3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),Thomas’ Calculus, Addison Wesley Publ. Co. 2001 BAB IV MATRIKS KEGIATAN Metode pembelajaran: 1. Kuliah Interaktif (KI) 2. Tutorial (T) 3. Diskusi Kelompok (DK) 4. Tugas Individu (TI) 5. Tugas Kelompok (TK) Sumber Pembelajaran 1. Buku Teks 2. Handout 3. Internet 4. Manual Matlab Media Instruksional 1. Whiteboard 2. OHP Matriks Kegiatan Perkuliahan Sasaran Pembelajaran Minggu Tanggal Metode Pemelajaran Termin al Penunjang O L U Pokok Bahasan Media 1 1 KI T, TI TI System Bil 2 2 KI T, TK Q fungsi 3 3 KI T, TI TI Limit fungsi 4 4, 5, 6 Limit dan kontinuitas 5 7 KI T, TI TI turunan 6 8, 9 KI T, TI TI Aplikasi turunan: perilaku grafik, maks min 7 1 10, 11, 12 KI T, TI Q Aplikasi turunan dalam beberapa bidang 8 UTS 9 13 KI T, TI TI Integral 10 14, 15 KI T, TI Q Aplikasi integral 11 16, 17,18 DK TK TK Aplikasi integral 12 12, 13 KI TK TK, pleno Teknik pengintegralan 13 19 TK TK TK Fungsi-fungsi transenden 14 19, 20 KI T, TI TI Turunan dan integral fungsi transenden 15 20, 21 KI KI KI Bentuk-bentuk tak tentu 16 UAS Matriks Kegiatan Tutorial Pertemuan Tangggal Jam Kegiatan Subpokok Bahasan Penanggung jawab Ruang 1 2 3 4 5 6 7 8 UTS 9 10 11 12 13 14 15 16 UAS 8 BAB V CONTOH TUGAS LATIHAN Tugas Individu Pokok bahasan Bahan Tugas Individu Keterangan 1. Sistem bilangan nyata Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan nyata, menjelaskan sifat operasi bilangan nyata, konvensi yang berlaku dengan operasi bilangan nyata tertentu, menyatakan himpunan dalam beberapa notasi, menyelesaikan pertaksamaan. 2. fungsi Menjelaskan pentingnya fungsi dalam kehidupan sehari-hari dan matematika, menjelaskan jenis fungsi, test garis vektikal 3. limit Mengevaluasi/ mengevaluasi limit 4. turunan Menjelaskan makna geometris turunan fungsi, mengevaluasi turunan fungsi, menjelaskan teorema penting dan aplikasinya 5. aplikasi turunan Menentukan sifat grafik fungsi lewat turunan pertama dan ke dua, menghitung nilai rata-rata fungsi, menentukan titik ekstrem 6. integral menentukan anti turunan fungsi, menjelaskan proses pengembangan integral tertentu dan contohnya 7. aplikasi integral Menghitung besaran-besaran tertentu. 8. fungsi transenden Menentukan grafik inverse fungsi, 9. teknik pengintegralan Membuat prosedur umum pengevaluasian integral, menentukan integral tak tentu dengan berbagai teknik 10. bentuk tak tentu dan integral tak wajar Mengevaluasi kapan aturan L’Hopital dapat diterapkan, mengevaluasi integral tak wajar dengan limit, menentukan limit bentuk-bentuk tertentu 9 Topik Diskusi dan Tugas Kelompok Pokok bahasan Bahan Diskusi Kelompok 7. Aplikasi Integral Anda diminta membuat prosedur umum penggunaan integral tertentu untuk menghitung besaran yang terkait dengan perubahan yang mengikuti sebuah fungsi. Jelaskan rincian prosedur tersebut untuk menghitung besaran berikut: luas daerah diantara dua kurva dan dua garis vertical, volume benda putar (dengan dua pendekatan), panjang kurva, massa, pusat massa, dan satu aplikasi lain yang serupa. 10 BAB VI EVALUASI HASIL PEMELAJARAN Bentuk/jenis instrumen 1. Tugas individu (essay: penyelesaian soal secara aljabar, manual, atau dengan komputer) 2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi, penyelesaian soal secara berkelompok) 3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda) 4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda) Skema Penentuan Nilai Akhir No Komponen Bobot 1. Tugas Individu (10 kali) 10% 2. Tugas Kelompok (1 kali) 5% 3. Kuis (2 kali) 20% 5. Ujian Tengah Semester ( 1 kali) 30% 6. Ujian Akhir Semester 35% Total 100% Kisi-kisi naskah UTS Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot K4 Extended response essay (menentukan, menerapkan, memilih/ menilai prosedur-prosedur penyelesaian, memberi argumentasi) 2 50% K3 Restricted response essay (menghitung, menginterpresikan, imengidentifikasi, mengklasifikasi) 2 30% K5 Pilihan ganda (menganalisa, menilai, memilih) 5 20% Jumlah 9 100% 11 Kisi-kisi naskah UAS Ranah Kognitif *) Instrumen Jumlah soal bobot K3-K6 Extended response essay (menentukan, menerapkan, memilih/ menilai prosedurprosedur penyelesaian, memberi argumentasi) 2 50% K3-K5 Restricted response essay (menghitung, menginterpresikan, imengidentifikasi, mengklasifikasi) 3 30% K6 Pilihan ganda (menilai, memilih) 5 20% Jumlah 10 100% *) Bloom’s Taxonomy 12 BAB VII CONTOH SOAL-SOAL UJIAN FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA Ujian Tengah Semester Kalkulus 1 Tanggal : 26 Maret 2006 Waktu : 100 menit Sifat : closed book, tanpa kalkulator Dosen :Heru Suhartanto Kasiyah M. Junus Petunjuk: · Baca baik-baik semua soal, sebelum menjawabnya. · Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi · Bobot setiap soal adalah sama (10). · Ketelitian dan kecermatan sangat diperlukan. · JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL. Aturlah ukuran huruf Anda supaya tempat yang disediakan mencukupi. 1. Seorang petani ingin memagari tiga petak sawahnya yang berbentuk persegi panjang. Ketiga petaksawah tersebut mempunyai ukuran yang sama dan luasnya 300 m2. Berapa panjang dan lebar petak tersebut agar pagar yang dibutuhkan panjangnya minimum? 2. Jika ( ) , ( ) 2 f x = x2 g x = x - , maka a. f 2 (r)g(r) = ….. b. (g o f )(t) = …. c. domain dari fungsi ( ) ( ) g x f x adalah …………. 3. Tunjukkan bahwa jumlahan dua bilangan rasional adalah bilangan rasional . 4. Tentukan nilai limit fungsi h(x) berikut ini (jika ada). Jika tidak ada berikan penjelasan. a. | 1| 1 ( ) - = - x x h x , untuk x ®1 b. ( ) ( ) ( ) f 2 x g x h x = , untuk x ®c , dengan f x L g x K x c x c = = ® ® lim ( ) , lim ( ) f (c) ¹ 0 5. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh mengenai grafik fungsi y = f(x) jika dilakukan test turunan pertama pada f ’(x) di titik-titik kritis dari f ’(x). 6. Apakah Test Turunan Kedua dapat membedakan titik ekstrem lokal dari ekstrem global? Kapan Test Turunan Kedua tidak memberikan informasi apa-apa? Jelaskan 7. Diberikan grafik fungsi f ’(x) pada interval [-4 , 6] -3 -2 -1 1 2 3 4 5 a. Tentukan selang (interval) dimana f naik dan turun. b. Tentukan untuk x berapa grafik fungsi y = f(x) mempunyai titik belok (inflection point)? c. Tentukan untuk x berapa f mencapai titik ekstrem? Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan melingkari huruf yang sesuai. 8. Berikut ini adalah grafik fungsi y = f(x). Tentukan grafik mana yang merupakan grafik fungsi yang mempunyai inverse. (A) (B) (C) (D) 9. Diasumsikan bahwa setiap grafik berikut ini adalah grafik dari fungsi polinomial. (1) (2) (3) (4) Urutan grafik berdasarkan derajat (polinomoal) terkecil yang mungkin adalah: A. (1) (4) (3) (2) B. (2) (3) (4) (1) C. (3) (1) (2) (4) D. (1) (3) (4) (2) 10. Nyatakanlah apakah pernyataan berikut benar atau salah, dan berikan penjelasannya a. Jumlah dua fungsi genap adalah fungsi genap b. Jumlah dua fungsi ganjil adalah fungsi ganjil c. Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil d. Komposisi dua fungsi ganjil adalah fungsi ge

BUKU RANCANGAN PENGAJARAN
Mata Ajaran
Kalkulus I
Disusun oleh:
Kasiyah M Junus
Heru Suhartanto
Fakultas Ilmu Komputer
Universitas Indonesia
Agustus 2008

PENGANTAR
Kalkulus I merupakan mata ajaran wajib di Fasilkom dengan bobot 3 SKS. Ada dua masalah
dasar dalam Kalkulus, yaitu masalah garis singgung dan luas. Masalah garis singgung adalah
bagaimana menemukan gradien garis singgung di suatu titik pada kurva. Sedangkan masalah
luas adalah bagaimana menentukan luas daerah bidang diantara suatu kurva sumbu-x pada
interval [a, b]. Kedua masalah tersebut melibatkan grafik fungsi bernilai nyata y = f(x), dan
jawabannya merupakan limit perubahan dan limit jumlahan, yang kemudian kita kenal
sebagai turunan dan integral tertentu. Oleh karena itu, Kalkulus sering disebut sebagai ilmu
yang mempelajari limit. Jawaban dua masalah geometris (yang amat matematis) tersebut
ternyata merupakan kunci dari berbagai masalah terapan dalam ilmu pengetahuan dan
teknologi.
Pada mata ajar Kalkulus I di Fasilkom dibahas turunan dan integral fungsi nyata dengan satu
perubah bebas. Sebagaimana tujuan pemelajaran matematika secara umum, tujuan
pemelajaran Kalkulus I adalah membekali pemelajar dengan berbagai teknik untuk
menyelesaikan masalah (problem solving) terkait dan penalaran matematis (intelletual
sports). Dua hal ini diperlukan oleh mahasiswa Fasilkom sebagai dasar untuk mengikuti mata
ajar lain selanjutnya.
Pendekatan yang dilakukan adalah pemelajaran aktif (active learning) bukan pembelajaran
(instruction). Kuliah yang diselenggarakan bersifat interaktif dan melibatkan pemelajar secara
aktif dalam bentuk antara lain pengerjaan lembar kerja (worksheet). Lembar kerja dirancang
secara hati-hati dengan memperhatikan tujuan pemelajaran, pemelajar, dan metode yang
diterapkan. Lembar kerja menjadi bagian terintegrasi dari pemelajaran, bukan sekedar
lembar latihan saja. Lembar kerja dapat berfungsi sebagai sarana untuk membangkitkan
kembali pengetahuan dasar yang diperlukan, orientasi, latihan, dan umpan balik.
Pemelajar dipacu untuk bekerjasama dan saling tergantung secara positif (positive
dependent) dengan pemelajar lain dalam proses pembentukan pengetahuan.
DAFTAR ISI
PENGANTAR iii
DAFTAR ISI Iv
BAB I INFORMASI UMUM 1
BAB II
SASARAN PEMELAJARAN
Sasaran Pemelajaran Terminal
Sasaran Pemelajaran Penunjang
Diagram Alur
2
2-3
4
BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN
Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan
Rujukan
5-6
6
BAB IV METODE PEMBELAJARAN
Metode Pembalajaran
Sumber Pembelajaran
Media Instruksional
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Matriks Kegiatan Tutorial
7
7
7
7
8
BAB V TUGAS LATIHAN
Tugas Individu
Tugas Kelompok
9
10
BAB VI EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN
Jenis Instrumen
Kisi-kisi Soal UTS
Kisi-kisi soal UAS
Contoh Soal Ujian
11
11
12
12-13
BAB I
INFORMASI UMUM
Nama mata ajar : Kalkulus I
Kode mata ajar : IKI10041
Diberikan pada semester ke- : 2
Jumlah sks : 3
Jenis sks : 2 x 50 menit tatap muka,
50 menit tutorial,
50 menit latihan mandiri/ berkelompok
Prasyarat : -
Kaitan dengan mata ajar lain : Kalkulus II
Persamaan Differensial
Grafika Komputer
Pengolahan Citra
Analisa Numerik
Aljabar Linier Numerik
Aproksimasi Sistem Non-Linier
Jadwal
Dosen : Dra. Kasiyah, MSc
Heru Suhartanto, PhD
Tutor :
Bagan hubungan dengan mata kuliah lain:
Kalkulus I Kalkulus II Persamaan Differensial – KI
Grafika Komputer – TPL
Pengolahan Citra – TPL / KI
Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik – KI
Aproksimasi Sistem Non-
Linier – KI
Petunjuk Pemelajaran
Untuk menjaga kelancaran proses pemelajaran dan menjamin efektifitasnya, maka
diberlakukan aturan berikut ini.
1. Pemelajar diharapkan mempersiapkan diri sebelum masuk kelas dengan
membaca materi yang akan dipelajari.
2. Pada setiap sesi, pemelajar diwajibkan membawa lembar kerja yang sesuai.
3. Selama proses pemelajaran, pemelajar diharapkan aktif terlibat dan tidak
melakukan kegiatan lain (misanya mengerjakan tugas kuliah lain).
4. Mahasiswa dilarang keras menganggu jalannya pemelajaran dengan
menghidupkan dering HP, menerima telepon, maupun pesan singkat.
5. Jika terlambat dan pintu sudah ditutup, mahasiswa diharapkan untuk tidak
masuk kelas supaya tidak menganggu jalannya pemelajaran.
6. Dalam mengerjakan tugas rumah, pemelajar diperbolehkan (didorong) untuk
melakukan belajar kelompok. Namun, dalam memberikan jawaban tidak
boleh menyalin pekerjaan orang lain meskipun dalam kelompok belajar yang
sama. Mahasiswa diminta untuk meluliskan teman belajarnya dalam
mengerjakan pekerjaan rumah.
7. Dalam tugas kelompok, penilaian teman akan menjadi faktor pengali untuk
nilai ndividual.
8. Keterlambatan mengumpulkan tugas akan mengurangi nilai.
9. TIDAK akan diberikan susulan quiz, ujian tengah semester, ujian akhir
semester tanpa surat keterangan dokter. Surat keterangan dokter harap
diberikan sesegera mungkin, dan pada saat jadwal quiz atau ujian, kondisi ini
sudah harus diketahui dosen.
10. Dosen tidak wajib memberitahu jadwal quiz. Jadwal ujian tengah dan akhir
semester diberikan.
11. TIDAK ada tugas tambahan dengan tujuan untuk memperbaiki nilai.
Kesempatan untuk menunjukkan prestasi belajar diberikan selama satu
semester penuh.
12. Mahasiswa diharapkan datang pada saat sesi perkuliahan, karena pada
pemelajaran kolaboratif pemelajar harus memberikan kontribusinya.
13. Pemelajar diharapkan mengisi daftar hadir.
14. Kecurangan (mengabsenkan orang lain, menyontek, dll) bisa didiskualifikasi
dan mendapat nilai E.
BAB II
SASARAN PEMELAJARAN
Sejalan dengan tujuan pengajaran Matematika, tujuan pemelajaran Kalkulus I
meliputi aspek problem solving dan intellectual sport. Secara rinci, kedua tujuan
tersebut dijabarkan dalam tujuan pemelajaran terminal (tujuan instruksonal umum)
dan tujuan pemelajaran penunjang (tujuan instruksional khusus) sebagai berikut.
Sasaran pemelajaran terminal
Setelah mengikuti mata ajaran Kalkulus I selama satu semester, mahasiswa
diharapkan memiliki kemampuan berikut ini.
1. Dapat menyelesaikan masalah terkait dengan turunan: menentukan
karakteristik fungsi berdasarkan turunannya, menentukan nilai ekstrem fungsi
kontinu pada interval tertutup, dan laju perubahan.
2. Memahami kaitan dua konsep dasar Kalkulus (turunan dan intergral tertentu)
secara tepat.
3. Dapat menghitung luas antara dua kurva sederhana, panjang kurva pada
suatu interval, dan volume benda putar terhadap sumbu koordinat dengan
tepat.
Untuk mencapai sasaran pemelajaran terminal tersebut, secara bertahap pemelajar
diharapkan mencapai sasaran penunjang terlebih dahulu. Berikut ini sasaran
penunjang yang terkait.
Sasaran pemelajaran penunjang
1. Pemelajar memahami konsep bilangan nyata yang meliputi sifat-sifat operasi
biner di dalamnya, pertidaksamaan, nilai mutlak, konvensi yang berlaku, dan
jenis-jenis interval.
2. Pemelajar memahami fungsi, dapat menggambar grafik fungsi-fungsi
sederhana, dapat melakukan operasi aljabar pada fungsi nyata yang
diberikan, dan dapat mengidentifikasi jenisnya.
3. Jika diberikan fungsi aljabar dan trigonometri dan titik pada domain,
mahasiswa dapat menentukan limitnya jika ada.
4. Mahasiswa dapat menurunkan sifat-sifat limit fungsi aljabar dan trigonometri
dan dapat menerapkannya untuk mengevaluasi limit fungsi yang diberikan.
5. Jika diberikan fungsi, pemelajar mampu menentukan kontinuitasnya pada titik
atau interval yang diberikan.
6. Jika diberikan fungsi bernilai nyata, pemelajar dapat menentukan limitnya jika
x menuju tak hingga, dan dapat menentukan kapan fungsi mempunyai limit
tak hingga.
7. Pemelajar memahami interpretasi geometris dari turunan fungsi bernilai
nyata.
8. Pemelajar memahami bagaimana memperoleh aturan penurunan, dan dapat
secara tepat menerapkan aturan tersebut untuk menurunkan fungsi yang
diberikan.
9. Pemelajar dapat menentukan nilai pendekatan nilai fungsi aljabar di sekitar
suatu titik yang diberikan dengan menggunakan diffenrensial.
10. Pemelajar dapat menentukan (secara aljabar) nilai ekstrem fungsi di interval
yang diberikan.
11. Pemelajar dapat memanfaatkan turunan untuk mengidentifikasi perilaku
fungsi (naik-turun, kecekungan, titik belok, dsb).
12. Jika diberikan suatu fungsi, pemelajar dapat menentukan anti turunannya.
13. Pemelajar memahami masalah luas dan penyelesaiannya dalam bentuk
integral tertentu.
14. Pemelajar memahami kaitan integral tertentu, dan anti turunan.
15. Pemelajar memahami dan dapat menerapkan teorema nilai rata-rata untuk
turunan dan integral.
16. Pemelajar dapat menghitung luas daerah antara dua kurva yang diberikan
dan pada interval tertentu.
17. Pemelajar dapat menghitung volume benda yang diperoleh dengan memutar
kurva sederhana terhadap sumbu koordinat.
18. Pemelajar dapat menghitung panjang kurva sederhana sepanjang interval
tertentu.
19. Pemelajar memahami definisi fungsi-fungsi transenden, dapat membuat
sketsa grafiknya, dapat mengaitkan fungsi transenden dan inversenya,
menentukan turunan dan antiturunannya.
20. Jika diberikan fungsi, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk
menentukan integralnya.
21. Jika diberikan bentuk-bentuk tak tentu (sederhana) dalam limit, pemelajar
dapat memilih metode yang tepat untuk mengevaluasinya.
22. Pemelajar dapat memanfaatkan limit untuk mengevaluasi integral tak
sebenarnya.
Diagram alur tujuan pembelajaran
Sistem Bilangan Nyata
Fungsi
Limit
Masalah garis singgung Masalah luas
Turunan Teorema Dasar Kalkulus Integral
Kontinuitas fungsi
Aplikasi integral Teknik pengintegralan
Aplikasi turunan
Fungsi transenden
Diagram alur tujuan pembelajaran di atas juga memperlihatkan keterkaitan antara
pokok-pokok pembahasan. Urutan penyampaian materi sedikit berbeda dengan
diagram alur. Determinan dan Aturan Cramer dibahas terlebih dahulu sebelum
pembahasan vektor pada bidang dan ruang, dengan dua pertimbangan. Pertama,
mahasiswa sudah mempunyai dasar pengetahuan yang cukup dari SMU; kedua,
pokok bahasan ini terkait erat dengan pokok bahasan operasi baris pada matriks.
BAB III
BAHASAN DAN RUJUKAN
Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan
No Pokok Bahasan Subpokok bahasan
Rujukan
1 Sistem Bilangan
Nyata
1.1 Sistem Bilangan Nyata
1.2 Nilai Mutlak
1.3 Pertaksamaan dan Interval
[1] chap 1
2 fungsi 2.1 Pengertian Fungsi
2.2 Grafik Fungsi
2.3 Fungsi Genap, Ganjil
2.4 Katalog Fungsi-fungsi
[1] chap 2
[2] chap 1
[3] chap 0
3 limit 3.1 Konsep Limit
3.2 Sifat dan teorema limit
3.3 Kontinuitas
[1] chap 2
[2] chap 2
[3] chap 1
4 Turunan Turunan
4.1 Pengetian turunan
4.2 Fungsi terdeferensial
4.3 Aturan Penurunan dasar
4.4 Aturan Rantai
4.5 Turunan fungsi-fugsi aljabar
4.6 Turunan fungsi trigonometri
4.7 Kontinuitas
[1] chap 3
[2] chap 3
[3] chap 2
5 Aplikasi turunan 5.1 Fungsi naik dan turun, dan Teorema Nilai
Mean
5.2 Titik esktrem fungsi
5.3 Kecekungan
5.4 Penurunan implisit dan laju perubahan
5.5 Increament, differensial, dan pendekatan
linier
[1] chap 4
[2] chap 4
[3] chap 3
6 Integral 6.1 Antiturunan dan Masalah nilai awal
6.2 Notasi sigma
6.3 Limit jumlahan Riemann dan integral
6.4 Mengevaluasi integral
6.5 Nilai rata-rata fungsi
6.6 Teorema dasar kalkulus
6.7 Pengintegralan dengan substitusi
[1] chap 5
[2] chap 5
[3] chap 4
7 Aplikasi integral 7.1 Mengembangkan integral
7.2 Luas daerah bidang
[1] chap 6
[2] chap 6
7.3 Volume benda putas
7.4 Panjang kurva
7.5 Luas permukaan benda putar
[3] chap 5
8 Fungsi transenden 8.1 Fungsi logaritma alam dan eksponensial
8.2 Fungsi-fungsi trigonometri dan inversenya
8.3 Fungsi-fungsi hiperbolik dan inversenya
[1] chap 7
[2] chap
7, 8
[3] chap 6
9 Teknik
pengintegralan
9.1 Pengintegralan dengan substitusi
9.2 Integral trigonometri
9.3 Pengintegralan dengan rasionalisasi
9.4 Pengintegralan bagian demi bagian
9.5 Pengintegralan fungsi rasional
[1] chap 8
[2] chap 9
[3] chap 7
10 Bentuk tak tentu
dan integral tak
wajar
10.1 Bentuk-bentuk tak tentu
10.2 Integral tak wajar: batas tak hingga
10.3 Integral tak wajar: integrand tak hingga
[1] chap 9
[2] chap 8
[3] chap 7
Rujukan
Utama
[1] Varberg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8th Edition,
Prentice Hall Inc, 2000
Penunjang
[2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5th
Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998
[3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),Thomas’ Calculus,
Addison Wesley Publ. Co. 2001
BAB IV
MATRIKS KEGIATAN
Metode pembelajaran:
1. Kuliah Interaktif (KI)
2. Tutorial (T)
3. Diskusi Kelompok (DK)
4. Tugas Individu (TI)
5. Tugas Kelompok (TK)
Sumber Pembelajaran
1. Buku Teks
2. Handout
3. Internet
4. Manual Matlab
Media Instruksional
1. Whiteboard
2. OHP
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Sasaran
Pembelajaran
Minggu Tanggal Metode Pemelajaran
Termin
al
Penunjang O L U
Pokok Bahasan Media
1 1 KI T, TI TI System Bil
2 2 KI T, TK Q fungsi
3 3 KI T, TI TI Limit fungsi
4 4, 5, 6 Limit dan
kontinuitas
5 7 KI T, TI TI turunan
6 8, 9 KI T, TI TI Aplikasi turunan:
perilaku grafik,
maks min
7
1
10, 11,
12
KI T, TI Q Aplikasi turunan
dalam beberapa
bidang
8 UTS
9 13 KI T, TI TI Integral
10
14, 15 KI T, TI Q Aplikasi integral
11 16, 17,18 DK TK TK Aplikasi integral
12
12, 13 KI TK TK,
pleno
Teknik
pengintegralan
13 19 TK TK TK Fungsi-fungsi
transenden
14 19, 20 KI T, TI TI Turunan dan
integral fungsi
transenden
15 20, 21 KI KI KI Bentuk-bentuk
tak tentu
16 UAS
Matriks Kegiatan Tutorial
Pertemuan Tangggal Jam Kegiatan Subpokok
Bahasan
Penanggung
jawab
Ruang
1
2
3
4
5
6
7
8 UTS
9
10
11
12
13
14
15
16 UAS
8
BAB V
CONTOH TUGAS LATIHAN
Tugas Individu
Pokok bahasan Bahan Tugas Individu Keterangan
1. Sistem bilangan
nyata
Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan nyata,
menjelaskan sifat operasi bilangan nyata,
konvensi yang berlaku dengan operasi bilangan
nyata tertentu, menyatakan himpunan dalam
beberapa notasi, menyelesaikan pertaksamaan.
2. fungsi Menjelaskan pentingnya fungsi dalam kehidupan
sehari-hari dan matematika, menjelaskan jenis
fungsi, test garis vektikal
3. limit Mengevaluasi/ mengevaluasi limit
4. turunan Menjelaskan makna geometris turunan fungsi,
mengevaluasi turunan fungsi, menjelaskan
teorema penting dan aplikasinya
5. aplikasi turunan Menentukan sifat grafik fungsi lewat turunan
pertama dan ke dua, menghitung nilai rata-rata
fungsi, menentukan titik ekstrem
6. integral menentukan anti turunan fungsi, menjelaskan
proses pengembangan integral tertentu dan
contohnya
7. aplikasi integral Menghitung besaran-besaran tertentu.
8. fungsi transenden Menentukan grafik inverse fungsi,
9. teknik
pengintegralan
Membuat prosedur umum pengevaluasian
integral, menentukan integral tak tentu dengan
berbagai teknik
10. bentuk tak tentu
dan integral tak wajar
Mengevaluasi kapan aturan L’Hopital dapat
diterapkan, mengevaluasi integral tak wajar
dengan limit, menentukan limit bentuk-bentuk
tertentu
9
Topik Diskusi dan Tugas Kelompok
Pokok bahasan Bahan Diskusi Kelompok
7. Aplikasi Integral Anda diminta membuat prosedur umum penggunaan integral
tertentu untuk menghitung besaran yang terkait dengan
perubahan yang mengikuti sebuah fungsi. Jelaskan rincian
prosedur tersebut untuk menghitung besaran berikut: luas daerah
diantara dua kurva dan dua garis vertical, volume benda putar
(dengan dua pendekatan), panjang kurva, massa, pusat massa,
dan satu aplikasi lain yang serupa.
10
BAB VI
EVALUASI HASIL PEMELAJARAN
Bentuk/jenis instrumen
1. Tugas individu (essay: penyelesaian soal secara aljabar, manual, atau dengan
komputer)
2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi, penyelesaian soal secara
berkelompok)
3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda)
4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda)
Skema Penentuan Nilai Akhir
No Komponen Bobot
1. Tugas Individu (10 kali) 10%
2. Tugas Kelompok (1 kali) 5%
3. Kuis (2 kali) 20%
5. Ujian Tengah Semester ( 1 kali) 30%
6. Ujian Akhir Semester 35%
Total 100%
Kisi-kisi naskah UTS
Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot
K4 Extended response essay
(menentukan, menerapkan,
memilih/ menilai prosedur-prosedur
penyelesaian, memberi
argumentasi)
2 50%
K3 Restricted response essay
(menghitung, menginterpresikan,
imengidentifikasi, mengklasifikasi)
2 30%
K5 Pilihan ganda (menganalisa,
menilai, memilih)
5 20%
Jumlah 9 100%
11
Kisi-kisi naskah UAS
Ranah Kognitif *) Instrumen Jumlah
soal
bobot
K3-K6 Extended response essay
(menentukan, menerapkan,
memilih/ menilai prosedurprosedur
penyelesaian,
memberi argumentasi)
2 50%
K3-K5 Restricted response essay
(menghitung,
menginterpresikan,
imengidentifikasi,
mengklasifikasi)
3 30%
K6 Pilihan ganda (menilai,
memilih)
5 20%
Jumlah 10 100%
*) Bloom’s Taxonomy
12
BAB VII
CONTOH SOAL-SOAL UJIAN
FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA
Ujian Tengah Semester
Kalkulus 1
Tanggal : 26 Maret 2006
Waktu : 100 menit
Sifat : closed book, tanpa kalkulator
Dosen :Heru Suhartanto
Kasiyah M. Junus
Petunjuk:
· Baca baik-baik semua soal, sebelum menjawabnya.
· Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi
· Bobot setiap soal adalah sama (10).
· Ketelitian dan kecermatan sangat diperlukan.
· JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL. Aturlah ukuran huruf Anda supaya
tempat yang disediakan mencukupi.
1. Seorang petani ingin memagari tiga petak sawahnya yang berbentuk persegi
panjang. Ketiga petaksawah tersebut mempunyai ukuran yang sama dan luasnya 300
m2. Berapa panjang dan lebar petak tersebut agar pagar yang dibutuhkan
panjangnya minimum?
2. Jika ( ) , ( ) 2 f x = x2 g x = x - , maka
a. f 2 (r)g(r) = …..
b. (g o f )(t) = ….
c. domain dari fungsi ( )
( )
g x
f x
adalah ………….
3. Tunjukkan bahwa jumlahan dua bilangan rasional adalah bilangan
rasional .
4. Tentukan nilai limit fungsi h(x) berikut ini (jika ada). Jika tidak ada berikan
penjelasan.
a.
| 1|
1
( )
-
= -
x
x
h x , untuk x ®1
b.
( )
( )
( )
f 2 x
g x
h x = , untuk x ®c , dengan f x L g x K
x c x c
= =
® ®
lim ( ) , lim ( )
f (c) ¹ 0
5. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh mengenai grafik fungsi y = f(x) jika dilakukan
test turunan pertama pada f ’(x) di titik-titik kritis dari f ’(x).
6. Apakah Test Turunan Kedua dapat membedakan titik ekstrem lokal dari ekstrem
global? Kapan Test Turunan Kedua tidak memberikan informasi apa-apa? Jelaskan
7. Diberikan grafik fungsi f ’(x) pada interval [-4 , 6]
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
a. Tentukan selang (interval) dimana f naik dan turun.
b. Tentukan untuk x berapa grafik fungsi y = f(x) mempunyai titik belok
(inflection point)?
c. Tentukan untuk x berapa f mencapai titik ekstrem?
Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan melingkari huruf yang sesuai.
8. Berikut ini adalah grafik fungsi y = f(x). Tentukan grafik mana yang merupakan
grafik fungsi yang mempunyai inverse.
(A) (B) (C) (D)
9. Diasumsikan bahwa setiap grafik berikut ini adalah grafik dari fungsi polinomial.
(1) (2) (3) (4)
Urutan grafik berdasarkan derajat (polinomoal) terkecil yang mungkin adalah:
A. (1) (4) (3) (2)
B. (2) (3) (4) (1)
C. (3) (1) (2) (4)
D. (1) (3) (4) (2)
10. Nyatakanlah apakah pernyataan berikut benar atau salah, dan berikan penjelasannya
a. Jumlah dua fungsi genap adalah fungsi genap
b. Jumlah dua fungsi ganjil adalah fungsi ganjil
c. Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil
d. Komposisi dua fungsi ganjil adalah fungsi ge
Mata Ajaran
Kalkulus I
Disusun oleh:
Kasiyah M Junus
Heru Suhartanto
Fakultas Ilmu Komputer
Universitas Indonesia
Agustus 2008

PENGANTAR
Kalkulus I merupakan mata ajaran wajib di Fasilkom dengan bobot 3 SKS. Ada dua masalah
dasar dalam Kalkulus, yaitu masalah garis singgung dan luas. Masalah garis singgung adalah
bagaimana menemukan gradien garis singgung di suatu titik pada kurva. Sedangkan masalah
luas adalah bagaimana menentukan luas daerah bidang diantara suatu kurva sumbu-x pada
interval [a, b]. Kedua masalah tersebut melibatkan grafik fungsi bernilai nyata y = f(x), dan
jawabannya merupakan limit perubahan dan limit jumlahan, yang kemudian kita kenal
sebagai turunan dan integral tertentu. Oleh karena itu, Kalkulus sering disebut sebagai ilmu
yang mempelajari limit. Jawaban dua masalah geometris (yang amat matematis) tersebut
ternyata merupakan kunci dari berbagai masalah terapan dalam ilmu pengetahuan dan
teknologi.
Pada mata ajar Kalkulus I di Fasilkom dibahas turunan dan integral fungsi nyata dengan satu
perubah bebas. Sebagaimana tujuan pemelajaran matematika secara umum, tujuan
pemelajaran Kalkulus I adalah membekali pemelajar dengan berbagai teknik untuk
menyelesaikan masalah (problem solving) terkait dan penalaran matematis (intelletual
sports). Dua hal ini diperlukan oleh mahasiswa Fasilkom sebagai dasar untuk mengikuti mata
ajar lain selanjutnya.
Pendekatan yang dilakukan adalah pemelajaran aktif (active learning) bukan pembelajaran
(instruction). Kuliah yang diselenggarakan bersifat interaktif dan melibatkan pemelajar secara
aktif dalam bentuk antara lain pengerjaan lembar kerja (worksheet). Lembar kerja dirancang
secara hati-hati dengan memperhatikan tujuan pemelajaran, pemelajar, dan metode yang
diterapkan. Lembar kerja menjadi bagian terintegrasi dari pemelajaran, bukan sekedar
lembar latihan saja. Lembar kerja dapat berfungsi sebagai sarana untuk membangkitkan
kembali pengetahuan dasar yang diperlukan, orientasi, latihan, dan umpan balik.
Pemelajar dipacu untuk bekerjasama dan saling tergantung secara positif (positive
dependent) dengan pemelajar lain dalam proses pembentukan pengetahuan.
DAFTAR ISI
PENGANTAR iii
DAFTAR ISI Iv
BAB I INFORMASI UMUM 1
BAB II
SASARAN PEMELAJARAN
Sasaran Pemelajaran Terminal
Sasaran Pemelajaran Penunjang
Diagram Alur
2
2-3
4
BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN
Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan
Rujukan
5-6
6
BAB IV METODE PEMBELAJARAN
Metode Pembalajaran
Sumber Pembelajaran
Media Instruksional
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Matriks Kegiatan Tutorial
7
7
7
7
8
BAB V TUGAS LATIHAN
Tugas Individu
Tugas Kelompok
9
10
BAB VI EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN
Jenis Instrumen
Kisi-kisi Soal UTS
Kisi-kisi soal UAS
Contoh Soal Ujian
11
11
12
12-13
BAB I
INFORMASI UMUM
Nama mata ajar : Kalkulus I
Kode mata ajar : IKI10041
Diberikan pada semester ke- : 2
Jumlah sks : 3
Jenis sks : 2 x 50 menit tatap muka,
50 menit tutorial,
50 menit latihan mandiri/ berkelompok
Prasyarat : -
Kaitan dengan mata ajar lain : Kalkulus II
Persamaan Differensial
Grafika Komputer
Pengolahan Citra
Analisa Numerik
Aljabar Linier Numerik
Aproksimasi Sistem Non-Linier
Jadwal
Dosen : Dra. Kasiyah, MSc
Heru Suhartanto, PhD
Tutor :
Bagan hubungan dengan mata kuliah lain:
Kalkulus I Kalkulus II Persamaan Differensial – KI
Grafika Komputer – TPL
Pengolahan Citra – TPL / KI
Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik – KI
Aproksimasi Sistem Non-
Linier – KI
Petunjuk Pemelajaran
Untuk menjaga kelancaran proses pemelajaran dan menjamin efektifitasnya, maka
diberlakukan aturan berikut ini.
1. Pemelajar diharapkan mempersiapkan diri sebelum masuk kelas dengan
membaca materi yang akan dipelajari.
2. Pada setiap sesi, pemelajar diwajibkan membawa lembar kerja yang sesuai.
3. Selama proses pemelajaran, pemelajar diharapkan aktif terlibat dan tidak
melakukan kegiatan lain (misanya mengerjakan tugas kuliah lain).
4. Mahasiswa dilarang keras menganggu jalannya pemelajaran dengan
menghidupkan dering HP, menerima telepon, maupun pesan singkat.
5. Jika terlambat dan pintu sudah ditutup, mahasiswa diharapkan untuk tidak
masuk kelas supaya tidak menganggu jalannya pemelajaran.
6. Dalam mengerjakan tugas rumah, pemelajar diperbolehkan (didorong) untuk
melakukan belajar kelompok. Namun, dalam memberikan jawaban tidak
boleh menyalin pekerjaan orang lain meskipun dalam kelompok belajar yang
sama. Mahasiswa diminta untuk meluliskan teman belajarnya dalam
mengerjakan pekerjaan rumah.
7. Dalam tugas kelompok, penilaian teman akan menjadi faktor pengali untuk
nilai ndividual.
8. Keterlambatan mengumpulkan tugas akan mengurangi nilai.
9. TIDAK akan diberikan susulan quiz, ujian tengah semester, ujian akhir
semester tanpa surat keterangan dokter. Surat keterangan dokter harap
diberikan sesegera mungkin, dan pada saat jadwal quiz atau ujian, kondisi ini
sudah harus diketahui dosen.
10. Dosen tidak wajib memberitahu jadwal quiz. Jadwal ujian tengah dan akhir
semester diberikan.
11. TIDAK ada tugas tambahan dengan tujuan untuk memperbaiki nilai.
Kesempatan untuk menunjukkan prestasi belajar diberikan selama satu
semester penuh.
12. Mahasiswa diharapkan datang pada saat sesi perkuliahan, karena pada
pemelajaran kolaboratif pemelajar harus memberikan kontribusinya.
13. Pemelajar diharapkan mengisi daftar hadir.
14. Kecurangan (mengabsenkan orang lain, menyontek, dll) bisa didiskualifikasi
dan mendapat nilai E.
BAB II
SASARAN PEMELAJARAN
Sejalan dengan tujuan pengajaran Matematika, tujuan pemelajaran Kalkulus I
meliputi aspek problem solving dan intellectual sport. Secara rinci, kedua tujuan
tersebut dijabarkan dalam tujuan pemelajaran terminal (tujuan instruksonal umum)
dan tujuan pemelajaran penunjang (tujuan instruksional khusus) sebagai berikut.
Sasaran pemelajaran terminal
Setelah mengikuti mata ajaran Kalkulus I selama satu semester, mahasiswa
diharapkan memiliki kemampuan berikut ini.
1. Dapat menyelesaikan masalah terkait dengan turunan: menentukan
karakteristik fungsi berdasarkan turunannya, menentukan nilai ekstrem fungsi
kontinu pada interval tertutup, dan laju perubahan.
2. Memahami kaitan dua konsep dasar Kalkulus (turunan dan intergral tertentu)
secara tepat.
3. Dapat menghitung luas antara dua kurva sederhana, panjang kurva pada
suatu interval, dan volume benda putar terhadap sumbu koordinat dengan
tepat.
Untuk mencapai sasaran pemelajaran terminal tersebut, secara bertahap pemelajar
diharapkan mencapai sasaran penunjang terlebih dahulu. Berikut ini sasaran
penunjang yang terkait.
Sasaran pemelajaran penunjang
1. Pemelajar memahami konsep bilangan nyata yang meliputi sifat-sifat operasi
biner di dalamnya, pertidaksamaan, nilai mutlak, konvensi yang berlaku, dan
jenis-jenis interval.
2. Pemelajar memahami fungsi, dapat menggambar grafik fungsi-fungsi
sederhana, dapat melakukan operasi aljabar pada fungsi nyata yang
diberikan, dan dapat mengidentifikasi jenisnya.
3. Jika diberikan fungsi aljabar dan trigonometri dan titik pada domain,
mahasiswa dapat menentukan limitnya jika ada.
4. Mahasiswa dapat menurunkan sifat-sifat limit fungsi aljabar dan trigonometri
dan dapat menerapkannya untuk mengevaluasi limit fungsi yang diberikan.
5. Jika diberikan fungsi, pemelajar mampu menentukan kontinuitasnya pada titik
atau interval yang diberikan.
6. Jika diberikan fungsi bernilai nyata, pemelajar dapat menentukan limitnya jika
x menuju tak hingga, dan dapat menentukan kapan fungsi mempunyai limit
tak hingga.
7. Pemelajar memahami interpretasi geometris dari turunan fungsi bernilai
nyata.
8. Pemelajar memahami bagaimana memperoleh aturan penurunan, dan dapat
secara tepat menerapkan aturan tersebut untuk menurunkan fungsi yang
diberikan.
9. Pemelajar dapat menentukan nilai pendekatan nilai fungsi aljabar di sekitar
suatu titik yang diberikan dengan menggunakan diffenrensial.
10. Pemelajar dapat menentukan (secara aljabar) nilai ekstrem fungsi di interval
yang diberikan.
11. Pemelajar dapat memanfaatkan turunan untuk mengidentifikasi perilaku
fungsi (naik-turun, kecekungan, titik belok, dsb).
12. Jika diberikan suatu fungsi, pemelajar dapat menentukan anti turunannya.
13. Pemelajar memahami masalah luas dan penyelesaiannya dalam bentuk
integral tertentu.
14. Pemelajar memahami kaitan integral tertentu, dan anti turunan.
15. Pemelajar memahami dan dapat menerapkan teorema nilai rata-rata untuk
turunan dan integral.
16. Pemelajar dapat menghitung luas daerah antara dua kurva yang diberikan
dan pada interval tertentu.
17. Pemelajar dapat menghitung volume benda yang diperoleh dengan memutar
kurva sederhana terhadap sumbu koordinat.
18. Pemelajar dapat menghitung panjang kurva sederhana sepanjang interval
tertentu.
19. Pemelajar memahami definisi fungsi-fungsi transenden, dapat membuat
sketsa grafiknya, dapat mengaitkan fungsi transenden dan inversenya,
menentukan turunan dan antiturunannya.
20. Jika diberikan fungsi, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk
menentukan integralnya.
21. Jika diberikan bentuk-bentuk tak tentu (sederhana) dalam limit, pemelajar
dapat memilih metode yang tepat untuk mengevaluasinya.
22. Pemelajar dapat memanfaatkan limit untuk mengevaluasi integral tak
sebenarnya.
Diagram alur tujuan pembelajaran
Sistem Bilangan Nyata
Fungsi
Limit
Masalah garis singgung Masalah luas
Turunan Teorema Dasar Kalkulus Integral
Kontinuitas fungsi
Aplikasi integral Teknik pengintegralan
Aplikasi turunan
Fungsi transenden
Diagram alur tujuan pembelajaran di atas juga memperlihatkan keterkaitan antara
pokok-pokok pembahasan. Urutan penyampaian materi sedikit berbeda dengan
diagram alur. Determinan dan Aturan Cramer dibahas terlebih dahulu sebelum
pembahasan vektor pada bidang dan ruang, dengan dua pertimbangan. Pertama,
mahasiswa sudah mempunyai dasar pengetahuan yang cukup dari SMU; kedua,
pokok bahasan ini terkait erat dengan pokok bahasan operasi baris pada matriks.
BAB III
BAHASAN DAN RUJUKAN
Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan
No Pokok Bahasan Subpokok bahasan
Rujukan
1 Sistem Bilangan
Nyata
1.1 Sistem Bilangan Nyata
1.2 Nilai Mutlak
1.3 Pertaksamaan dan Interval
[1] chap 1
2 fungsi 2.1 Pengertian Fungsi
2.2 Grafik Fungsi
2.3 Fungsi Genap, Ganjil
2.4 Katalog Fungsi-fungsi
[1] chap 2
[2] chap 1
[3] chap 0
3 limit 3.1 Konsep Limit
3.2 Sifat dan teorema limit
3.3 Kontinuitas
[1] chap 2
[2] chap 2
[3] chap 1
4 Turunan Turunan
4.1 Pengetian turunan
4.2 Fungsi terdeferensial
4.3 Aturan Penurunan dasar
4.4 Aturan Rantai
4.5 Turunan fungsi-fugsi aljabar
4.6 Turunan fungsi trigonometri
4.7 Kontinuitas
[1] chap 3
[2] chap 3
[3] chap 2
5 Aplikasi turunan 5.1 Fungsi naik dan turun, dan Teorema Nilai
Mean
5.2 Titik esktrem fungsi
5.3 Kecekungan
5.4 Penurunan implisit dan laju perubahan
5.5 Increament, differensial, dan pendekatan
linier
[1] chap 4
[2] chap 4
[3] chap 3
6 Integral 6.1 Antiturunan dan Masalah nilai awal
6.2 Notasi sigma
6.3 Limit jumlahan Riemann dan integral
6.4 Mengevaluasi integral
6.5 Nilai rata-rata fungsi
6.6 Teorema dasar kalkulus
6.7 Pengintegralan dengan substitusi
[1] chap 5
[2] chap 5
[3] chap 4
7 Aplikasi integral 7.1 Mengembangkan integral
7.2 Luas daerah bidang
[1] chap 6
[2] chap 6
7.3 Volume benda putas
7.4 Panjang kurva
7.5 Luas permukaan benda putar
[3] chap 5
8 Fungsi transenden 8.1 Fungsi logaritma alam dan eksponensial
8.2 Fungsi-fungsi trigonometri dan inversenya
8.3 Fungsi-fungsi hiperbolik dan inversenya
[1] chap 7
[2] chap
7, 8
[3] chap 6
9 Teknik
pengintegralan
9.1 Pengintegralan dengan substitusi
9.2 Integral trigonometri
9.3 Pengintegralan dengan rasionalisasi
9.4 Pengintegralan bagian demi bagian
9.5 Pengintegralan fungsi rasional
[1] chap 8
[2] chap 9
[3] chap 7
10 Bentuk tak tentu
dan integral tak
wajar
10.1 Bentuk-bentuk tak tentu
10.2 Integral tak wajar: batas tak hingga
10.3 Integral tak wajar: integrand tak hingga
[1] chap 9
[2] chap 8
[3] chap 7
Rujukan
Utama
[1] Varberg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8th Edition,
Prentice Hall Inc, 2000
Penunjang
[2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5th
Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998
[3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),Thomas’ Calculus,
Addison Wesley Publ. Co. 2001
BAB IV
MATRIKS KEGIATAN
Metode pembelajaran:
1. Kuliah Interaktif (KI)
2. Tutorial (T)
3. Diskusi Kelompok (DK)
4. Tugas Individu (TI)
5. Tugas Kelompok (TK)
Sumber Pembelajaran
1. Buku Teks
2. Handout
3. Internet
4. Manual Matlab
Media Instruksional
1. Whiteboard
2. OHP
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Sasaran
Pembelajaran
Minggu Tanggal Metode Pemelajaran
Termin
al
Penunjang O L U
Pokok Bahasan Media
1 1 KI T, TI TI System Bil
2 2 KI T, TK Q fungsi
3 3 KI T, TI TI Limit fungsi
4 4, 5, 6 Limit dan
kontinuitas
5 7 KI T, TI TI turunan
6 8, 9 KI T, TI TI Aplikasi turunan:
perilaku grafik,
maks min
7
1
10, 11,
12
KI T, TI Q Aplikasi turunan
dalam beberapa
bidang
8 UTS
9 13 KI T, TI TI Integral
10
14, 15 KI T, TI Q Aplikasi integral
11 16, 17,18 DK TK TK Aplikasi integral
12
12, 13 KI TK TK,
pleno
Teknik
pengintegralan
13 19 TK TK TK Fungsi-fungsi
transenden
14 19, 20 KI T, TI TI Turunan dan
integral fungsi
transenden
15 20, 21 KI KI KI Bentuk-bentuk
tak tentu
16 UAS
Matriks Kegiatan Tutorial
Pertemuan Tangggal Jam Kegiatan Subpokok
Bahasan
Penanggung
jawab
Ruang
1
2
3
4
5
6
7
8 UTS
9
10
11
12
13
14
15
16 UAS
8
BAB V
CONTOH TUGAS LATIHAN
Tugas Individu
Pokok bahasan Bahan Tugas Individu Keterangan
1. Sistem bilangan
nyata
Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan nyata,
menjelaskan sifat operasi bilangan nyata,
konvensi yang berlaku dengan operasi bilangan
nyata tertentu, menyatakan himpunan dalam
beberapa notasi, menyelesaikan pertaksamaan.
2. fungsi Menjelaskan pentingnya fungsi dalam kehidupan
sehari-hari dan matematika, menjelaskan jenis
fungsi, test garis vektikal
3. limit Mengevaluasi/ mengevaluasi limit
4. turunan Menjelaskan makna geometris turunan fungsi,
mengevaluasi turunan fungsi, menjelaskan
teorema penting dan aplikasinya
5. aplikasi turunan Menentukan sifat grafik fungsi lewat turunan
pertama dan ke dua, menghitung nilai rata-rata
fungsi, menentukan titik ekstrem
6. integral menentukan anti turunan fungsi, menjelaskan
proses pengembangan integral tertentu dan
contohnya
7. aplikasi integral Menghitung besaran-besaran tertentu.
8. fungsi transenden Menentukan grafik inverse fungsi,
9. teknik
pengintegralan
Membuat prosedur umum pengevaluasian
integral, menentukan integral tak tentu dengan
berbagai teknik
10. bentuk tak tentu
dan integral tak wajar
Mengevaluasi kapan aturan L’Hopital dapat
diterapkan, mengevaluasi integral tak wajar
dengan limit, menentukan limit bentuk-bentuk
tertentu
9
Topik Diskusi dan Tugas Kelompok
Pokok bahasan Bahan Diskusi Kelompok
7. Aplikasi Integral Anda diminta membuat prosedur umum penggunaan integral
tertentu untuk menghitung besaran yang terkait dengan
perubahan yang mengikuti sebuah fungsi. Jelaskan rincian
prosedur tersebut untuk menghitung besaran berikut: luas daerah
diantara dua kurva dan dua garis vertical, volume benda putar
(dengan dua pendekatan), panjang kurva, massa, pusat massa,
dan satu aplikasi lain yang serupa.
10
BAB VI
EVALUASI HASIL PEMELAJARAN
Bentuk/jenis instrumen
1. Tugas individu (essay: penyelesaian soal secara aljabar, manual, atau dengan
komputer)
2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi, penyelesaian soal secara
berkelompok)
3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda)
4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda)
Skema Penentuan Nilai Akhir
No Komponen Bobot
1. Tugas Individu (10 kali) 10%
2. Tugas Kelompok (1 kali) 5%
3. Kuis (2 kali) 20%
5. Ujian Tengah Semester ( 1 kali) 30%
6. Ujian Akhir Semester 35%
Total 100%
Kisi-kisi naskah UTS
Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot
K4 Extended response essay
(menentukan, menerapkan,
memilih/ menilai prosedur-prosedur
penyelesaian, memberi
argumentasi)
2 50%
K3 Restricted response essay
(menghitung, menginterpresikan,
imengidentifikasi, mengklasifikasi)
2 30%
K5 Pilihan ganda (menganalisa,
menilai, memilih)
5 20%
Jumlah 9 100%
11
Kisi-kisi naskah UAS
Ranah Kognitif *) Instrumen Jumlah
soal
bobot
K3-K6 Extended response essay
(menentukan, menerapkan,
memilih/ menilai prosedurprosedur
penyelesaian,
memberi argumentasi)
2 50%
K3-K5 Restricted response essay
(menghitung,
menginterpresikan,
imengidentifikasi,
mengklasifikasi)
3 30%
K6 Pilihan ganda (menilai,
memilih)
5 20%
Jumlah 10 100%
*) Bloom’s Taxonomy
12
BAB VII
CONTOH SOAL-SOAL UJIAN
FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA
Ujian Tengah Semester
Kalkulus 1
Tanggal : 26 Maret 2006
Waktu : 100 menit
Sifat : closed book, tanpa kalkulator
Dosen :Heru Suhartanto
Kasiyah M. Junus
Petunjuk:
· Baca baik-baik semua soal, sebelum menjawabnya.
· Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi
· Bobot setiap soal adalah sama (10).
· Ketelitian dan kecermatan sangat diperlukan.
· JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL. Aturlah ukuran huruf Anda supaya
tempat yang disediakan mencukupi.
1. Seorang petani ingin memagari tiga petak sawahnya yang berbentuk persegi
panjang. Ketiga petaksawah tersebut mempunyai ukuran yang sama dan luasnya 300
m2. Berapa panjang dan lebar petak tersebut agar pagar yang dibutuhkan
panjangnya minimum?
2. Jika ( ) , ( ) 2 f x = x2 g x = x - , maka
a. f 2 (r)g(r) = …..
b. (g o f )(t) = ….
c. domain dari fungsi ( )
( )
g x
f x
adalah ………….
3. Tunjukkan bahwa jumlahan dua bilangan rasional adalah bilangan
rasional .
4. Tentukan nilai limit fungsi h(x) berikut ini (jika ada). Jika tidak ada berikan
penjelasan.
a.
| 1|
1
( )
-
= -
x
x
h x , untuk x ®1
b.
( )
( )
( )
f 2 x
g x
h x = , untuk x ®c , dengan f x L g x K
x c x c
= =
® ®
lim ( ) , lim ( )
f (c) ¹ 0
5. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh mengenai grafik fungsi y = f(x) jika dilakukan
test turunan pertama pada f ’(x) di titik-titik kritis dari f ’(x).
6. Apakah Test Turunan Kedua dapat membedakan titik ekstrem lokal dari ekstrem
global? Kapan Test Turunan Kedua tidak memberikan informasi apa-apa? Jelaskan
7. Diberikan grafik fungsi f ’(x) pada interval [-4 , 6]
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
a. Tentukan selang (interval) dimana f naik dan turun.
b. Tentukan untuk x berapa grafik fungsi y = f(x) mempunyai titik belok
(inflection point)?
c. Tentukan untuk x berapa f mencapai titik ekstrem?
Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan melingkari huruf yang sesuai.
8. Berikut ini adalah grafik fungsi y = f(x). Tentukan grafik mana yang merupakan
grafik fungsi yang mempunyai inverse.
(A) (B) (C) (D)
9. Diasumsikan bahwa setiap grafik berikut ini adalah grafik dari fungsi polinomial.
(1) (2) (3) (4)
Urutan grafik berdasarkan derajat (polinomoal) terkecil yang mungkin adalah:
A. (1) (4) (3) (2)
B. (2) (3) (4) (1)
C. (3) (1) (2) (4)
D. (1) (3) (4) (2)
10. Nyatakanlah apakah pernyataan berikut benar atau salah, dan berikan penjelasannya
a. Jumlah dua fungsi genap adalah fungsi genap
b. Jumlah dua fungsi ganjil adalah fungsi ganjil
c. Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil
d. Komposisi dua fungsi ganjil adalah fungsi ge

Cara Kerja System 4-Tak

Cara Kerja System 4-Tak


Mengapa mesin disebut 4 tak, karena memang ada 4 langkah. Berikut adalah detail dari setiap proses. Untuk memudahkannya, maka setting email anda ke HTML sehingga gambar akan terlihat berurutan. Gambar diambil dari website www.howstuffworks.com/engine.htm. Pada website ini, gambar terlihat bergerak. Tetapi untuk memudahkan, gambar sengaja diset per langkah.

1. Intake
Disebut langkah intake karena langkah pertama adalah menghisap melalui piston dari karburator. Pasokan bahan bakar tidak cukup hanya dari semprotan karburator. Cara kerjanya adalah sbb. Piston pertama kali berada di posisi atas (atau disebut Titik Mati Atas). Lalu piston menghisap bahan bakar yang sudah disetting/dicampur antara bensin dan udara di karburator. Piston lalu mundur menghisap bahan bakar. Untuk membuka, diperlukan klep atau valve inlet yang akan membuka pada saat piston turun/menghisap ke arah bawah.

Gerakan valve atau inlet diatur oleh camshaft secara mekanis. Yakni, camshaft mengatur besaran bukaan klep dengan cara menekan tuas klep. Camshaft sendiri digerakan oleh rantai keteng yang disambungkan antara camshaft ke crankshaft. Untuk detilnya, lihat gambar berikut.



Perhatikan bahwa A adalah Intake Valve (klep masuk bahan bakar) dan klep ini ditekan (membuka) karena I (camshaft) menekan valve A. Dengan demikian, pada saat piston turun, maka A terbuka sekaligus bahan bakar ditarik masuk ke ruang bakar. A akan menutup sampai batas tertentu sebelum langkah kedua : kompresi. Rantai keteng tidak terlihat karena akan sulit digambarkan di atas, tetapi crankshaft (P) terhubung dengan camshaft (I). Beberapa mobil Eropa seperti Mercedez menggunakan rantai sebagai penghubung antara crankshaft dan camshaft, tetapi umumnya di mobil Jepang menggunakan belt yang kita kenal sebagai timing belt.

2. Kompresi
Langkah ini adalah lanjutan dari langkah di atas. Setelah piston mencapai titik terbawah di tahapan intake, lalu valve intake tertutup, dan dilakukan proses kompresi. Yakni, bahan bakar yang sudah ada di ruang bakar dimampatkan. Ruangan sudah tertutup rapat karena kedua valve (intake dan exhaust) tertutup. Proses ini terus berjalan sampai langkah berikut yakni meledaknya busi di langkah ke 3.



3. Combustion (Pembakaran)

Tahap berikut adalah busi pada titik tertentu akan meledak setelah PISTON BERGERAK MENCAPAI TITIK MATI ATAS DAN MUNDUR BEBERAPA DERAJAT. Jadi, busi tidak meledak pada saat piston di titik paling atas (disebut titik 0 derajat), tetapi piston mundur dulu, baru meledak. Hal ini karena untuk menghindari adanya energi yang terbuang sia-sia karena pada saat piston di titik mati atas, masih ada energi laten (yang tersimpan akibat dorongan proses kompresi). Jika pada titik 0 derajat busi meledak, bisa jadi piston mundur tetapi mengengkol crankshaft ke arah belakang (motor mundur ke belakang, bukan memutar roda ke depan).

Setelah proses pembakaran, maka piston memiliki energi untuk mendorong crankshaft yang nantinya akan dialirkan melalui gearbox dan sproket, rantai, dan terakhir ke roda.



4. Exhaust (Pembuangan)

Langkah terakhir ini dilakukan setelah pembakaran. Piston akibat pembakaran akan terdorong hingga ke titik yang paling bawah, atau disebut Titik Mati Bawah. Setelah itu, piston akan mendorong ke depan dan klep exhaust membuka sementara klep intake tertutup. Oleh karena itu, maka gas buang akan terdorong masuk ke lubang Exhaust Port (atau kita bilang lubang sambungan ke knalpot). Dengan demikian, maka kita bisa membuang semua sisa gas buang akibat pembakaran. Dan setelah bersih kembali, lalu kita akan masuk lagi mengulangi langkah ke 1 lagi.

ANTARA MINAT DAN PENDIDIKAN

Mesin adalah alat mekanik atau elektrik yang mengirim atau mengubah energi untuk melakukan atau membantu pelaksanaan tugas manusia. Biasanya membutuhkan sebuah masukan sebagai pelatuk, mengirim energi yang telah diubah menjadi sebuah keluaran, yang melakukan tugas yang telah disetel. Mesin dalam bahasa Indonesia sering pula disebut dengan sebutan pesawat, contoh pesawat telepon untuk tejemahan bahasa Inggris telephone machine. Namun belakangan kata pesawat cenderung mengarah ke kapal terbang.
Mesin telah mengembangkan kemampuan manusia sejak sebelum adanya catatan tertulis. Perbedaan utama dari alat sederhana dan mekanisme atau pesawat sederhana adalah sumber tenaga dan mungkin pengoperasian yang bebas. Istilah mesin biasanya menunjuk ke bagian yang bekerja bersama untuk melakukan kerja. Biasanya alat-alat ini mengurangi intensitas gaya yang dilakukan, mengubah arah gaya, atau mengubah suatu bentuk gerak atau energi ke bentuk lainnya.

Sabtu, 02 Juni 2012

FLUIDA DINAMIS

FLUIDA DINAMIS

Fluida Ideal
Fluida ideal adalah fluida yang tunak,tak termampatkan,tak kental dan streamline (garis arus)

Ciri-ciri umum fluida ideal

1.Aliran fluida dapat merupakan aliran tunak (steady) atau tak tunak
(nonsteady)
2.Aliran fluida dapat termampatkan (compressible) atau tak termampatkan
(incompressible)
3.Aliran fluida dapat merupakan aliran kental (viscous) atau tak kental
(nonviscous)
4.Aliran fluida dapat merupakan aliran garis arus (streamline) atau aliran
turbulen

GARIS ARUS

Adalah aliran fluida yang mengikuti suatu garis (lurus melengkung) yang jelas ujung dan pangkalnya. Garis arus disebut juga aliran berlapis (aliran laminar = laminar flow)

Definisi aliran turbulen

Ketika melebihi suatu kelajuan tertentu, aliran fluida menjadi turbulen. Aliran turbulen ditandai oleh adanya aliran berputar.

Persamaan Kontinuitas

Debit adalah besaran yang menyatakan volume fluida yang mengalir melalui suatu penampang tertentu dalam satuan waktu tertentu.

Debit = Volume Fluida / Selang Waktu

Q = V / t

Persamaan debit kontinuitas

Pada fluida tak termampatkan debit fluida dititik mana saja selalu konstan

Perbandingan kecepatan fluida dengan luas dan diameter penampang- kelajuan aliran fluida tak termampatkan berbanding terbalik dengan luas penampang yang dilaluinya.- kelajuan aliran fluida tak termampatkan berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari penampang atau diameter penampang.

Daya oleh debit fluida

Debit fluida yang mengalir pada ketinggian tertentu dipengaruhi oleh gravitasi dan massa jenis air.

JADI PERSAMAAN KONTINUITAS
P1A1V1 = P2A2V2
TAK TERMAMPATKAN MAKA P1 = P2 KONSTAN
A1V1 = A2V2 = A3V3………..KONSTAN
JUGA PERSAMAAN DEBIT AIR DAPAT DIKATAKAN
Q = A . V
Q1 = Q2 = Q3……….KONSTAN

PENERAPAN HUKUM KONTINUITAS

- UJUNG SELANG PEMADAM KEBAKARAN YANG BERPENAMPANG KECIL.
- MENYEMPITKAN UJUNG SELANG SAAT MENYIRAM TANAMAN.
- PIPA ALIRAN AIR PADA PLTA BERPENAMPANG KECIL SEBAGAI PENGGERAK TURBIN

ROBOT JAEMI AJARKAN PENGETAHUAN ROBOT

ROBOT JAEMI AJARKAN PENGETAHUAN ROBOT

Sebuah tim peneliti Universitas Drexel Juni lalu mengungkapkan temuan terbarunya, hasil kolaborasi dengan tim peneliti Korea, yakni Jaemi, robot manusia (HUBO). Jaemi HUBO diwujudkan dalam upaya memajukan perkembangan robot manusia dan mempertinggi konsep interaksi robot-manusia.
Tujuan proyek itu adalah memungkinkan robot-manusia (humanoids) berinteraksi dengan lingkungannya dan rencana peningkatan termasuk memungkinkan robot-manusia bergerak dalam medan yang berat, lingkungan yang tidak terstruktur dan untuk berinteraksi sosial dengan manusia dan menangani benda.
Proyek lima tahun itu, didanai melalui National Science Foundation (Yayasan Ilmu Pengetahuan Nasional, NSF). Program Kerjasama untuk Penelitian dan Pendidikan Internasional (Partnership for International Research and Education, PIRE), mencari model-model transformatif untuk mengatalisasikan penemuan melalui kerja sama penelitian internasional dan melatih pelajar Amerika dan peneliti muda untuk berpikir dan bekerja secara efektif dalam tim global.
“Bidang robotika ini ada di antara 10 bidang teknologi puncak yang mempertimbangkan mesin bagi pertumbuhan ekonomi. Korea memahami hal ini dan secara agresif mengejar robotika. Untuk tetap bersaing, AS harus melakukan hal yang sama,” kata Mark Suskin, sebagai wakil direktur Badan Ilmu Pengetahuan dan Teknik NSF.
“Program PIRE milik NSF dan kerjasama robotika ini terutama, memungkinkan AS untuk menyediakan modal penelitian bagi negara-negara lain dan tetap bersaing.”
Tim peneliti PIRE tersusun dari para peneliti di Universitas Pennsylvania, Colby College, Bryn Mawr College dan Virginia Tech di Amerika; dan Institut Lanjutan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi Korea (Korea Advanced Institute of Science and Technology, KAIST), Universitas Korea dan Universitas Nasional Seoul di Korea.
Tim yang memperoleh sebuah versi robot manusia HUBO milik KAIST,  yang diberi nama Jaemi HUBO dan memutuskan untuk menempatkannya di Universitas Drexel.Laboratorium KAIST HUBO telah menjadi sepotong model kemajuan penelitian bidang robot-manusia oleh tim kerja yang relatif kecil dengan anggaran ketat.
KAIST unggul pada rancang bangun kaki dan tubuh robot manusia, gaya berjalan dua kaki (berjalan, berlari, menendang), keseimbangan (peragaan dan rancang bangun sistem kendali) dan penggabungan perangkat kerasnya (hardware).
Para peneliti AS cenderung untuk menyukai suatu sisi pada gerakan melintasi medan-medan yang berat (tidak rata), tidak terstruktur; manipulasi/menyerap; mengenali, memahami dan interaksi robot manusia; dan penglihatan (gambar, mengerti, navigasi).
Kerja sama peneliti AS dan Korea ini akan mencari keahlian dari tiap peneliti untuk diambil dan mengembangkan Jaemi HUBO ke tingkat berikutnya. Begitulah, untuk meningkatkan kemampuan Jaemi akan navigasi dan memanipulasi benda serta berinteraksi dengan orang di lingkungan yang tak terstruktur. Seperti kemampuan yang menuntut teknologi informasi, misalnya mengenali, memahami serta jaringan daerah. Target peningkatan fiturnya termasuk kemampuan untuk bergerak di atas medan yang berat (tidak rata) dan lingkungan yang tak terstruktur serta menangani obyek dan berinteraksi sosial dengan manusia.
Jaemi HUBO juga akan mendidik publik Amerika, terutama orang muda, tentang ilmu pengetahuan robototika. Proses pendidikan ini dimulai di Please Touch Museum (Musium Silahkan Sentuh), Philadelphia, ketika Jaemi HUBO dibuka selubungnya dan diperkenalkan kepada para hadirin yang dipadati oleh anak-anak dan sedikit orang dewasa.
Tak peduli laki-laki ataupun perempuan, Jaemi berinteraksi dengan anak-anak. Dibimbing oleh seorang lulusan Universitas Drexel, Jaemi bergerak, berbicara, menari, berjabatan tangan dan memimpin anak-anak dalam suatu permainan Simon Says (Perkataan Simon).
Berinteraksi dengan Jaemi HUBO ini sungguh kontras dengan yang diusahakan oleh robot-manusia yang angkuh, yang sering kali melindungi rahasia dagang. Kebanyakan mereka tidak dapat dicapai oleh  publik.
Para kurator musium senang atas kunjungan Jaemi dan menghibur anak-anak selama akhir pekan. “Di Please Touch Museum, kami mempromosikan belajar melalui berbagai macam rasa,” kata J. Williard Whitson, wakil presiden musium untuk pameran dan pendidikan.
“Sebuah robot manusia tidak saja mewujudkan tujuan kami untuk membangun bidang-bidang ilmu pengetahuan bagi anak muda, tetapi Jaemi membantu kita semua merayakan sisi yang jenaka dari teknologi.”
Sekarang Jaemi HUBO berada di rumah tetapnya di Universitas Drexel, untuk mengadakan perjalanan dan menjumpai tamu mungkin dapat diatur melalui perjanjian. (The Epoch Times/pls)

Peningkatan Umur Bearing

Peningkatan Umur Bearing

Peningkatan Umur Bearing pada Pompa Sentrifugal dengan Optimasi Penggunaan Angular Contact Ball Bearing
Pada pompa centrifugal salah satu komponen yang penting adalah bearing sebagai penumpu poros untuk menggerakkan impeler pada pompa centrifugal. Akibat adanya  gaya-gaya yang timbul sebagai akibat dari putaran pada impeler pompa, timbul gaya aksial yang menyebabkan bantalan/ bearing tipe 6305 mudah mengalami  kerusakan. Oleh sebab itu, digunakan bantalan/ bearing tipe 7305 BE sebagai pengganti bantalan tipe 6305 yang sanggup menerima gaya-gaya aksial yang ditimbulkan akibat putaran pada poros impeler pompa. Dari hasil penelitian yang dilakukan dapat diketahui bahwa Akibat putaran dari impeller maka timbul juga gaya aksial sehingga bearing tipe 6305 tidak dapat mengatasi gaya-gaya yang timbul tersebut. Penggunaan angular contact ball bearing tipe 7305 BE menggantikan deep groove ball bearing tipe 6305 pada pompa centrifugal produksi RRC tipe XA40/26 dapat meningkatkan umur bearing hingga 200%.
1. Pendahuluan
Dewasa ini pompa semakin banyak digunakan dan penggunaannya semakin bermacam-macam. Dahulu pompa hanya digunakan untuk memindahkan air saja tetapi sekarang penggunaannya semakin luas yaitu juga digunakan untuk memindahkan bahan-bahan  kimia serta benda cair lainnya. Pompa merupakan suatu alat yang digunakan untuk mempermudah kerja manusia terutama untuk memindahkan benda yang berupa fluida cair.
Pompa adalah suatu alat yang digunakan untuk memindahkan fluida cair dari tekanan rendah ke tekanan dan / atau posisi yang rendah ke posisi yang tinggi. Pompa centrifugal mempunyai sebuah impeler  untuk mengangkat zat cair dari tempat yang lebih rendah ke tempat yang lebih tinggi. Daya dari luar diberikan kepada poros pompa untuk memutar impeler didalam zat cair, maka zat cair yang ada di dalam impeler oleh dorongan sudu-sudu ikut berputar.
Bearing yang dipasang pada pompa harus benar agar bearing tersebut dapat tahan lama dan berfungsi sebagaimana mestinya yaitu untuk menopang poros pada saat berputar. Pada pemilihan dan pemasangan bearing harus dicermati terlebih dahulu gaya apa saja yang terjadi pada poros tersebut agar dapat dipilih bearing yang sesuai dengan kebutuhan tersebut.

2. Alat-alat Percobaan
2.1 Pompa centrifugal buatan RRC tipe XA 40/26 dengan spesifikasi:
  • Total Head: 40 m
  • Kapasitas:26 m3/jam
2.2  Elektromotor dengan spesifikasi:
  • Daya 18 KW
  • Putaran 3000 rpm
  • Jumlah kutub 2 kutub
2.3 Deep Groove ball bearing tipe 6305
  • Principal dimensions :
Diameter luar = 40 mm
Diameter dalam = 90 mm
Tebal = 23 mm
  • Basic load rating :
Dynamic (C) = 41000 N
Static (Co) = 24000 N
  • Fatigue load limit (pu) = 1020 N
  • Speed ratings :
Lubrication grease = 7500 rpm
Lubrication Oil = 9000 rpm
  • Mass = 0,63 kg
2.4 Angular contact ball bearing tipe 7305 BE
  • Principal dimensions :
Diameter luar = 40 mm
Diameter dalam = 90 mm
Tebal = 23 mm
  • Basic load rating :
Dynamic (C) = 49400 N
Static (Co) = 33500 N
  • Fatigue load limit (pu) = 1400 N
  • Speed ratings :
Lubrication grease = 6700 rpm
Lubrication Oil = 9000 rpm
  • Mass = 0,63 kg

3. Teori Dasar
3.1 Bantalan/ Bearing
Bantalan merupakan salah satu bagian dari elemen mesin yang memegang peranan cukup penting karena fungsi dari bantalan yaitu untuk menumpu sebuah poros agar poros dapat berputar tanpa mengalami gesekan yang berlebihan. Bantalan harus cukup kuat untuk memungkinkan poros serta elemen mesin lainnya bekerja dengan baik. Berikut ini adalah gambar jenis-jenis bantalan Deep groove ball bearings dan Angular contact ball bearing :
Pada umumya bantalan dapat diklasifikasikan menjadi 2 bagian yaitu.
a. Berdasarkan gerakan bantalan terhadap poros
  • Bantalan luncur: Pada bantalan ini terjadi gesekan luncur antara poros dan bantalan karena permukaan poros ditumpu oleh permukaan bantalan dengan perantaraan lapisan pelumas.
  • Bantalan gelinding: Pada bantalan ini terjadi gesekan gelinding antara bagian yang berputar dengan yang diam melalui elemen gelinding seperti bola, rol, dan rol bulat.
b. Berdasarkan arah beban terhadap poros
  • Bantalan radial: Arah beban yang ditumpu bantalan ini adalah tegak lurus sumbu.
  • Bantalan aksial: Arah beban bantalan ini sejajar dengan sumbu poros.
  • Bantalan gelinding khusus: Bantalan ini dapat menumpu beban yang arahnya sejajar dan tegak lurus sumbu poros.
Meskipun bantalan gelinding menguntungkan, orang tetap memilih bantalan luncur dalam hal tertentu, contohnya bila kebisingan bantalan menggangu, pada kejutan yang kuat dalam putaran bebas.
I. Kerusakan bantalan
Kerusakan bantalan gelinding dapat disebabkan karena:
  • Kesalahan bahan (faktor produsen) yaitu retaknya bantalan setelah produksi baik retak halus maupun berat, kesalahan tolransi, kesalahan celah bantalan.
  • Kesalahan pada saat pemasangan.
  • Pemasangan yang terlalu longgar yang akibatnya cincin dalam atau cincin luar yang berputar yang menimbulkan gesekan denga housing/poros.
  • Pemasangan yang terlalu erat yang akibatnya ventilasi atau celah yang kurang sehingga pada saat berputar suhu bantalan akan cepat meningkat dan terjadi konsentrasi tegangan yang lebih.
  • Terjadi pembenjolan pada jalur jalan atau pada roll sehingga bantalan saat berputar akan tersendat-sendat.
  • Kesalahan operasi seperti.
  • Bahan pelumas yang tidak sesuai akibatnya akan terjadi korosi atau penggumpalan pelumas yang dapat menghambat berputarnya bantalan.
  • Pengotoran dari debu atau daerah sekitarnya yang akibatnya bantalan akan mengalami keausan dan berputarnya dengan bushing.
  • Pemasangan yang tidak sejajar maka akan menimbulkan guncangan pada saat berputar yang dapat merusak bantalan.
II. Pembacaan nomor nominal pada bantalan gelinding.
Dalam praktek, bantalan gelinding standart dipilih dari katalog bantalan. Ukuran utama bantalan adalah
  • Diameter lubang
  • Diameter luar
  • lebar
  • Lengkungan sudut
Nomor nominal bantalan gelinding terdiri dari nomor dasar dan nomor pelengkap. Nomor dasar yang ada merupakan lambang jenis, lambang ukuran(lambang lebar, diameter luar). Nomor diameter lubang dan lambang sudut kontak penulisannya bervariasi tergantung produsen bearing yang ada.
Bagian Nomor nominal
A B C D
A menyatakan jenis dari bantalan yang ada.
Jika A berharga
0 maka hal tersebut menunjukkan jenis Angular contact ball bearings, double row.
1 maka hal tersebut menunjukkan jenis Self-aligning ball bearing.
2 maka hal tersebut menunjukkan jenis spherical roller bearings and spherical roller thrust bearings.
3 maka hal tersebut menunjukkan jenis taper roller bearings.
4 maka hal tersebut menunjukkan jenis Deep groove ball bearings, double row.
5 maka hal tersebut menunjukkan jenis thrust ball bearings.
6 maka hal tersebut menunjukkan jenis Deep groove ball bearings, single row.
7 maka hal tersebut menunjukkan jenis Angular contact ball bearings, single row.
8 maka hal tersebut menunjukkan jenis cylindrical roller thrust bearings.
B menyatakan lambang diameter luar.
Jika B berharga 0 dan 1 menyatakan penggunaan untuk beban yang sangat ringan.
Jika B berharga 2 menyatakan penggunaan untuk beban yang ringan.
Jika B berharga 3 menyatakan penggunaan untuk beban yang sedang.
Jika B berharga 4 menyatakan penggunaan untuk beban yang berat.
C D menyatakan lambang diameter dalam.
Untuk bearing yang berdiameter 20 – 500 mm, kalikanlah 2 angka lambang tersebut untuk mendapatkan diameter lubang sesungguhnya dalam mm. Nomor tersebut biasanya bertingkat dengan kenaikan 5 mm tiap tingkatnya.
III. Pengoperasian yang  bebas dari kerusakan (Trouble Free Operation)
Untuk dapat melaksanakan TFO maka faktor-faktor penting perlu diperhatikan:
1. Kualitas. Kualitas yang dimaksud adalah kualitas dari bearing yang ada yang dipengaruhi oleh:
  • Pemilihan desain. Pemilihan desain ini meliputi perhitungan penggambaran dan perencanaan.
  • Dukungan teknik dari produsen yang meliputi informasi dan pelatihan.
  • Training atau seminar tentang bearing kepada konsumen sehingga dapat memahami karakteristik dari bearing.
  • R & D produsen untuk mengembangan produknya sesuai dengan kebutuhan konsumen.
  • Quality Control.
  • Bahan dasar bearing.
2. Proses pemasangan bearing.
  • Proses balancing. Pemasangan bearing pada komponen mesin, komponen tersebut pertama-tama harus benar-benar balance agar bearing dapat bertahan dengan baik.
  • Alignment (pengaturan sumbu poros pada mesin harus benar-benar sejajar).
  • Proses pemberian beban. Pemberian beban ini harus sesuai dengan jenis bearing yang digunakan apakah itu beban radial atau beban aksial.
  • Pengaturan posisi bearing pada poros.
  • Clearance bearing. Metode pemasangan dan peralatan yang digunakan.
  • Toleransi dan ketepatan yang diperlukan. Pada saat pemasangan bearing pada poros, maka toleransi poros pada proses pembubutan harus diperhatikan karena hal tersebut mempengaruhi keadaan bearing.
3. Environment/lingkungan tempat bearing dioperasikan.
  • Pemberian Seal pada bearing agar bebas terhadap debu atau air.
  • Sistem pendinginan bearing jika beroperasi pada suhu tinggi.
  • Sistem pemanasan jika beroperasi pada suhu rendah.
  • Penyimpanan bearing.
4. Maintenance atau perawatannya yang terbagi menjadi
  • Sistem pelumasannya menggunakan olie atau grease.
  • Pemeriksaaan visual.
  • Pemonitoran dari kondisi yang ada seperti :
• Kondisi getarannya.
• Analisis olinya.
• Aliran, tekanan dan arus yang mungkin timbul.
• Pemonitoran secara kontinyu.
• Sistem perlindungannya seperti rumah bearing, dan lain-lain.
Untuk proses mounting & dismounting atau pemasangan dan pelepasan bearing dapat dilihat langsung bagian berikut ini.


Pada prakteknya untuk memilih bantalan, bantalan tersebut harus dihitung umur pada bantalan selama menerima gaya-gaya yang terjadi
Perhitungan untuk umur bantalan adalah sebagai berikut :


3.2 Pompa
Dalam sebuah pompa unjuk kerja dari setiap pompa ditentukan oleh ukuran-ukuran dasar sebagai berikut :
  • Tinggi kenaikan isap (suction head), tinggi kenaikan tekan (delivery head) dan tinggi kenaikan total (total head)
  • Kapasitas
Kapasitas adalah jumlah fluida yang ditransfer oleh pompa selama satuan waktu tertentu.
  • Daya
  • Efisiensi
Pompa sentrifugal terdiri dari bermacam-macam komponen dan bagian. Pada gambar 4 terlihat pompa sentrifugal dan bagian-bagian penyusunnya :

Pada gambar 5 terlihat bahwa pada saat impeller berputar, ruang pada pompa mempunyai tekanan P1  pada ruang inlet  yang lebih rendah dari tekanan P2 pada bagian outlet. Jika tidak ada gerakan berputar, maka tekanan pada celah-celah 1 dan 2 seperti terlihat pada gambar 5 tersebut sama dengan P2. Tetapi karena pengaruh viskositas cairan dan putaran impeller, distribusi tekanan pada celah 1 dan 2 tidak uniform seperti terlihat pada gambar 5 di bawah ini.
Tekanan cairan yang terjadi pada bidang lingkaran dengan lebar D2-D0 , dari kiri dan kanan impeller adalah sama dan berlawanan arah sehingga saling meniadakan. Jadi, yang tidak sama adalah gaya-gaya R1 dan R2 yang bekerja dari kanan dan kiri bidang lingkaran sebelah D0-dsh.


Jika tekanan yang bekerja pada bagian inlet adalah sebesar P1 dan pada celah 2 adalah P2, maka :
R’ = R2 – R1 ………… (ii)
Dimana R’ adalah cairan masuk ke dalam impeller secara aksial dan selanjutnya melalui impeller arahnya dirubah menjadi radial pada saat keluar impeller. Akibatnya, terjadi gaya aksial R3 dari kiri ke kanan. Dengan rumus momentum, didapatkan:


Pada pompa multistage, gaya axial total sama dengan jumlah seluruh gaya-gaya axial masing-masing impeller dan ini bisa mencapai beberapa ton.
Cara membalans gaya-gaya axial tersebut :
  • Memakai peralatan pembalans tipe hydraulis
  • Memakai bantalan aksial
  • Memakai pemasukan ganda (double admission) paralel dari pada cairan yang masuk ke dalam impeller.
4. Hasil Percobaan dan Analisa

Percobaan dan pengamatan yang dilakukan  adalah dengan melakukan pengamatan selama pompa  tersebut bekerja pada keadaan normal (14 jam/ hari). Kemudian kerusakan bearing pada ke tiga  pompa yang diuji  dalam kurun waktu tiga tahun dicatat dan didapatkan hasil seperti tabel diatas
Berikut ini adalah tabel perbandingan umur rata-rata penggunaan bearing tipe 6305 dan bearing tipe 7305 BE:


  • Dari data-data di atas dapat dilihat bahwa bearing tipe 7305 BE angular contact ball bearing lebih baik dibandingkan tipe 6305 deep groove ball bearing. Untuk lebih jelas dapat dilihat diagram batangnya pada gambar 6. Hal ini disebabkan bearing tipe 7305 BE sanggup menerima beban axial yang timbul karena adanya putaran dari impeler.
  • Pemakaian bearing tipe 6305 pada pompa centrifugal tipe XA 40/26 mempunyai rata rata umur bearing 6,7 bulan yang dimana umur tersebut terlalu singkat. Umur bearing yang singkat tersebut disebabkan oleh adanya ketidak balansan gaya-gaya axial yang terjadi pada pompa, sehingga perlu dilakukan cara untuk membalans gaya-gaya axial tersebut antara lain dengan memakai peralatan pembalans tipe hidrolis, memakai pemasukan fluida ganda dan memakai bantalan yang tahan terhadap gaya axial (bantalan axial). Dari tipe-tipe peralatan pembalans yang ada, dipilih memakai bantalan yang tahan terhadap gaya axial (bantalan axial) karena yang dilakukan dalam cara tersebut sangat sederhana yaitu hanya mengganti bearing tipe deep groove ball bearing dengan anggular contact ball bearing serta tidak perlu alat-alat tambahan dan tidak perlu melakukan modifikasi yang sulit pada pompa tersebut.

5. Kesimpulan
Dari pengamatan, pengukuran dan pengujian yang dilakukan didapat :
  • Akibat putaran dari impeller maka timbul juga gaya aksial sehingga bearing tipe 6305 tidak dapat mengatasi gaya yang timbul tersebut dan perlu dilakukan penggantian dengan bearing tipe 7305 BE  yaitu suatu pemecahan yang paling sederhana dan paling mudah cara membalans gaya-gaya yang terjadi pada pompa centrifugal yang sedang beroperasi.
  • Pengguanan Angular contact ball bearing tipe 7305 BE lebih baik dan memiliki umur yang lebih panjang dibandingkan dengan deep groove ball bearing tipe 6305 pada pompa centrifugal tipe XA 40/26.
  • Angular contact ball bearing tipe 7305 BE mempunyai ketahanan axial yang lebih baik sehingga mempengaruhi umur bearing rata-rata lebih lama menjadi 13.4 bulan yang semula hanya berumur 6,7 bulan jika memakai bearing tipe 6305 pada pompa XA 40/26.
6. Daftar Pustaka
  1. SKF GeneralKatalog, Media-Print Informationstechnologie, Paderborn,1994.
  2. Torishima Pump Handbook, P.T. Torishima Guna Indonesia, 1994.
  3. Ir. I Made Arya Djoni, Msc, Pompa dan compressor. Jurusan teknik mesin, FTI – ITS, 1984.
  4. Ir. Joni Dewanto, Msc, Jurnal Dimensi vol.34 Nopember 1998 , LPPM UKP, Surabaya
  5. Sularso, Haruo Tahara, Pompa & Kompresor, PT. Pradnya Paramita, Jakarta, 2000.
  6. Ferdinand P. Beer, E. Russell Jonston, Mechanics for Engineers, Mc. Graw-Hill, 1987.
  7. A.R Holowenko, Dynamics of Machinery, John Wiley & Son, 1955.
  8. William T. Thomson, Teori Getaran Dengan Penerapan, Diterjemahkan oleh Lea Prasetyo, Penerbit Erlangga, Surabaya, 1981.
  9. John W.Dufour, William E.Nelson , “Centrifugal Pump Sourcebook”, Mc Graw-Hill, Inc, 1992
  10. Corley, James E., “The Vibration Analysis of Pumps, A Tutorial,” Texas A & M University, Huston, Tex, 1987
  11. M.D.Aisentein, “A New Method of Separating the Hydroulic Losses in a Centrifugal Pump,” A.S.M.E, 1927
  12. J.Lichtenstein,”A Method of Analyzing the Performance of Centrifugal Pumps,” A.S.M.E, 1927
  13. “Cavitation Characteristics of Centrifugal Pumps Described by Sjmilarity Considerations,” A.S.M.E, 1939
  14. L.H.Garnar,”NPSH and the Centrifugal Pump,” Refiner & Natural Gasoline Manufacturer, 1996
  15. A.J. Stepanoff, ”Pumping Viscous Oils with Centrifugal Pumps,” Oil and Gas Journal, 1940
  16. M.D. Aisenstein, “Characteristics of Performance of Centrifugal Pumps when Pumping Oil,” Gouls Pumps, Inc., Buletin 126
  17. R.L. Daugherty, “A Further Investigation of the Performance of Centrifugal Pumps when Pumping Oil,” Goulds Pumps, Inc., Buletin 130,1926
  18. Austine H.Church, Zulkifli Harahap, “Pompa dan Blower Sentrifugal,” Erlangga, 1944.
Penulis:
Willyanto Anggono1), Ian Hardianto Siahaan2)
Product Innovation and Development Centre Petra University1,2)